É dada a função y=(2 x^2-9 x-5)(x^2-2 x+2). Determine:
o conjunto dos valores de x para os quais y <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função y = (2x^2 - 9x - 5)(x^2 - 2x + 2) e precisa descobrir para quais valores de x o y é menor ou igual a zero ( y <= 0 ). Vamos usar conceitos de álgebra, como fatoração e análise de sinais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada um dos fatores da função separadamente para facilitar a resolução. A função é o produto de dois polinômios:
  1. f(x) = 2x^2 - 9x - 5
  2. g(x) = x^2 - 2x + 2
Vamos resolver f(x) e g(x) para encontrar os valores de x que tornam cada fator igual a zero. Esses pontos são importantes para entender onde o produto pode mudar de sinal.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes de f(x) = 2x^2 - 9x - 5 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 9 pm raiz(-9)^2 - 4 cdot 2 cdot (-5)2 cdot 2
x = 9 pm raiz81 + 404
x = 9 pm raiz1214
x = 9 pm 114
Portanto, as soluções são:
x = 9 + 114 = 5
x = 9 - 114 = -12
Então, f(x) = 0 quando x = 5 ou x = -12 .

Passo 4

Agora, vamos analisar g(x) = x^2 - 2x + 2 . Vamos ver se possui raízes reais:
O discriminante é:
De<a = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 4 - 8 = -4
Como o discriminante é negativo, g(x) não possui raízes reais. Isso significa que g(x) nunca é zero e seu sinal é sempre o mesmo para todos os valores de x . Vamos testar um valor qualquer, por exemplo, x = 0 :
g(0) = 0 - 0 + 2 = 2 > 0
Então, g(x) > 0 para todo x .

Passo 5

Agora que sabemos que g(x) > 0 sempre, o sinal de y depende apenas do sinal de f(x) . Queremos y = f(x) cdot g(x) <= 0 . Como g(x) > 0 , isso acontece quando f(x) <= 0 .
Então, precisamos encontrar onde f(x) = 2x^2 - 9x - 5 <= 0 . Sabemos que as raízes de f(x) são x = -12 e x = 5 . Como o coeficiente do x^2 é positivo, a parábola abre para cima, então f(x) <= 0 entre as raízes.

Passo 6

Portanto, os valores de x que satisfazem f(x) <= 0 estão no intervalo fechado entre -12 e 5 :
-12 <= x <= 5

Resposta

O conjunto dos valores de x para os quais y <= 0 é x entre -12 e 5 . Em notação de intervalo:
[ -12, 5 ]

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