É dada a função
. Determine:
o conjunto dos valores de x para os quais
.
o conjunto dos valores de x para os quais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir para quais valores de
o
é menor ou igual a zero (
). Vamos usar conceitos de álgebra, como fatoração e análise de sinais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada um dos fatores da função separadamente para facilitar a resolução. A função é o produto de dois polinômios:
Vamos resolver
e
para encontrar os valores de
que tornam cada fator igual a zero. Esses pontos são importantes para entender onde o produto pode mudar de sinal.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes de
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Então,
quando
ou
.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Vamos ver se possui raízes reais:
O discriminante é:
Como o discriminante é negativo,
não possui raízes reais. Isso significa que
nunca é zero e seu sinal é sempre o mesmo para todos os valores de
. Vamos testar um valor qualquer, por exemplo,
:
Então,
para todo
.
Passo 5
Agora que sabemos que
sempre, o sinal de
depende apenas do sinal de
. Queremos
. Como
, isso acontece quando
.
Então, precisamos encontrar onde
. Sabemos que as raízes de
são
e
. Como o coeficiente do
é positivo, a parábola abre para cima, então
entre as raízes.
Passo 6
Portanto, os valores de
que satisfazem
estão no intervalo fechado entre
e
:
Resposta
O conjunto dos valores de
para os quais
é
entre
e
. Em notação de intervalo: