Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral0^1 integral0^y^2 y^3 e^x y d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem lá. O enunciado pede pra calcular a integral iterada integral0^1 integral0^y^2 y^3 e^x y , dx , dy. A matéria envolvida aqui é cálculo integral de funções de duas variáveis, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^y^2 y^3 e^x y , dx. Aqui, y é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a x. Então, a gente pode tirar y^3 fora da integral:
y^3 integral0^y^2 e^x y , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar e^x y em relação a x. A integral de e^x y em relação a x é e^x yy, porque quando integramos e^u, onde u = yx, multiplicamos por 1y devido à regra da cadeia.
Então, temos:
y^3 [ e^x yy ]0^y^2 = y^3 ( e^y^3y - e^0y ) = y^3 ( e^y^3 - 1y ) = y^2 (e^y^3 - 1)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original e temos:
integral0^1 y^2 (e^y^3 - 1) , dy = integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - integral0^1 y^2 , dy
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.
Para a primeira integral, fazemos uma substituição onde u = y^3. Então, du = 3y^2 dy, o que significa que y^2 dy = du3. Substituindo:
integral y^2 e^y^3 , dy = 13 integral e^u , du = 13 e^u + C = 13 e^y^3
Avaliando de 0 a 1:
13 (e^1 - e^0) = 13 (e - 1)
Para a segunda integral:
integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13 (1 - 0) = 13

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla vale:
13 (e - 1) - 13 = 13 e - 23

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