Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem lá. O enunciado pede pra calcular a integral iterada
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral de funções de duas variáveis, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é
. Aqui,
é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a
. Então, a gente pode tirar
fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é
, porque quando integramos
, onde
, multiplicamos por
devido à regra da cadeia.
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral original e temos:
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.
Para a primeira integral, fazemos uma substituição onde
. Então,
, o que significa que
. Substituindo:
Avaliando de 0 a 1:
Para a segunda integral:
Resposta
Juntando tudo, a integral dupla vale: