Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-12.
A base de um sólido é a região entre a curva y=2raizsen x e o intervalo [0, pi] no eixo x. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados com bases que vão do eixo x à curva.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é a região no plano xy sob a curva
y = 2raizsin x, 0 <= x <= pi,
e cujas seções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo x, são quadrados com lado que vai do eixo x até a curva.
Aqui o conteúdo é “volumes por integrais de área de seções transversais”. Precisamos (a) expressar o lado do quadrado em função de x, (b) obter a área dessa seção em função de x, e (c) integrar de 0 a pi.

Passo 2

Em cada x, o quadrado tem lado igual à distância do eixo x até a curva, isto é
s(x) = y = 2raizsin x

Passo 3

A área do quadrado em função de x é
A(x) = [,s(x),]^2 = l(2raizsin xr)^2 = 4,sin x

Passo 4

O volume do sólido é dado pela integral da área das seções ao longo de x:
V = integral0^pi A(x),dx = integral0^pi 4,sin x ,dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^pi 4,sin x,dx = 4l[-cos xr]0^pi = 4l[(-cospi)-(-cos0)r] = 4l[(-(-1))-( -1)r] =4(1+1)=8

Resposta

O volume do sólido vale 8 unidades cúbicas.

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