Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-12.
O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo y em y=0 e y=2. As seções transversais perpendiculares ao eixo y são discos circulares com diâmetros que vão do eixo y à parábola x=raiz5y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido situado entre os planos y=0 e y=2, cujas seções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo y, são discos circulares. Para cada y entre 0 e 2, o diâmetro desse disco vai do eixo y (ou seja, x=0) até a parábola x=raiz5,y^2. Vamos usar o método de seções transversais, que consiste em integrar a área da seção A(y) ao longo de y.

Passo 2

Em uma dada altura y, o diâmetro do disco é
D(y)=raiz5,y^2=raiz5,y
Logo o raio é
R(y)=D(y)2=raiz52,y
A área da seção é
A(y)=pil[R(y)r]^2 =pi(raiz52,y)^2 =5pi4,y^2

Passo 3

O volume do sólido é dado por
V=integraly=0^y=2A(y),dy =integral0^25pi4,y^2,dy

Passo 4

Calculando a integral, temos
integral0^2y^2,dy =[y^33]0^2 =83,
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V=5pi4cdot83 =40pi12 =10pi3

Resposta

V=10pi3

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