Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Dados importantes: a variável
tende para
e a expressão é a soma de uma raiz quadrada
com
.
Passo 2
Vamos inspecionar o comportamento das duas parcelas quando
:
-
é sempre não negativa e cresce em módulo aproximadamente como quando é grande. -
tende para .
Assim a expressão tem a forma “grande positivo” mais “grande negativo” — é uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos manipular algebricamente a expressão para avaliar o limite (não dá para apenas substituir).
Passo 3
Uma técnica padrão para esse tipo de indeterminação é multiplicar numerador e denominador pela conjugada da soma, isto é, usar
No numerador aparece a diferença de quadrados. Calculando,
Portanto a expressão é igual a
Passo 4
Agora vamos simplificar o denominador extraindo
de dentro da raiz. Observe que
Lembre que
. Como estamos levando
a
, para esses
vale
. Substituindo no denominador:
Passo 5
Substituindo esse resultado na fração
obtemos
pois podemos cancelar o fator
(para
nunca dividimos por zero).
Passo 6
Agora que a expressão está livre da indeterminação explícita, aplicamos o limite facilmente. Quando
temos
, logo
Substituindo no resultado anterior:
Para dar confiança: se
, a expressão vale aproximadamente
, bem perto de
, que é
.