Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+2 x\right)

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right).
Dados importantes: a variável x tende para -\infty e a expressão é a soma de uma raiz quadrada \sqrt{4x^{2}+3x} com 2x.

Passo 2

Vamos inspecionar o comportamento das duas parcelas quando x\to -\infty:
  • \sqrt{4x^{2}+3x} é sempre não negativa e cresce em módulo aproximadamente como 2|x| quando |x| é grande.
  • 2x tende para -\infty.
Assim a expressão tem a forma “grande positivo” mais “grande negativo” — é uma indeterminação do tipo \infty - \infty. Isso significa que precisamos manipular algebricamente a expressão para avaliar o limite (não dá para apenas substituir).

Passo 3

Uma técnica padrão para esse tipo de indeterminação é multiplicar numerador e denominador pela conjugada da soma, isto é, usar
\sqrt{4x^{2}+3x}+2x=\frac{\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right)\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}.
No numerador aparece a diferença de quadrados. Calculando,
\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right)\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)=4x^{2}+3x-4x^{2}=3x.
Portanto a expressão é igual a
\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}.

Passo 4

Agora vamos simplificar o denominador extraindo x^{2} de dentro da raiz. Observe que
\sqrt{4x^{2}+3x}=\sqrt{x^{2}\left(4+\frac{3}{x}\right)}=\lvert x\rvert\sqrt{4+\frac{3}{x}}.
Lembre que \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert. Como estamos levando x a -\infty, para esses x vale \lvert x\rvert=-x. Substituindo no denominador:
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x=\lvert x\rvert\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x=-x\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x=-x\Big(\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2\Big).

Passo 5

Substituindo esse resultado na fração \dfrac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} obtemos
\frac{3x}{-x\left(\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2\right)}=-\frac{3}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2},
pois podemos cancelar o fator x (para x\to -\infty nunca dividimos por zero).

Passo 6

Agora que a expressão está livre da indeterminação explícita, aplicamos o limite facilmente. Quando x\to -\infty temos \dfrac{3}{x}\to 0, logo
\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}\longrightarrow \sqrt{4}=2.
Substituindo no resultado anterior:
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right)=-\frac{3}{2+2}=-\frac{3}{4}.
Para dar confiança: se x=-100, a expressão vale aproximadamente \sqrt{4\cdot10^{4}-300}+2(-100)\approx 199{,}25-200=-0{,}75, bem perto de -0{,}75, que é -\tfrac{3}{4}.

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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