Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular, quando existir, o limite
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função a estudar é
. - Quer-se o limite de
quando tende a . - Se o limite não existir, é preciso justificar por que não existe.
Passo 2
Vamos analisar cada termo separadamente e lembrar fatos básicos que vamos usar.
Fato 1: o termo
tende a zero quando
. Explicando por que:
cresce sem limite quando
, isto é
; portanto o recíproco tende a zero:
Isto também se vê porque
e é monotonicamente decrescente para
grande, aproximando-se de
.
Fato 2: o termo
é uma função periódica e os seus valores oscilam entre
e
. Assim
oscila entre
e
. Essa oscilação por si só impede concluir diretamente a existência de um limite; precisamos investigar se a adição de
(que vai para
) “anula” a oscilação ou não.
Passo 3
Estratégia prática para mostrar que o limite não existe: mostrar que existem duas sequências
e
tais que as imagens
e
têm limites diferentes. Lembrete teórico útil: se
existisse, então toda subsequência
com
teria o mesmo limite; encontrar duas subsequências com limites distintos prova que o limite não existe.
Passo 4
Escolha da primeira sequência que leva
ao máximo
. Tome
Então
quando
e
Logo, para essa sequência
Como já sabemos que
, segue que
Passo 5
Escolha da segunda sequência que leva
ao mínimo
. Tome
Novamente
quando
e
Então
Como
, obtemos
Passo 6
Conclusão lógica: encontramos duas subsequências
e
, ambas tendendo a
, tais que
ou seja, duas subsequências de
com limites diferentes. Pelo fato citado no Passo 3, isto impede a existência de
. Portanto o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.