Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\mathrm{e}^{-x}+2 \cos (3 x)\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular, quando existir, o limite
\lim_{x\to+\infty}\left[\mathrm{e}^{-x}+2\cos(3x)\right].
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função a estudar é f(x)=\mathrm{e}^{-x}+2\cos(3x).
  • Quer-se o limite de f(x) quando x tende a +\infty.
  • Se o limite não existir, é preciso justificar por que não existe.

Passo 2

Vamos analisar cada termo separadamente e lembrar fatos básicos que vamos usar.
Fato 1: o termo \mathrm{e}^{-x} tende a zero quando x\to+\infty. Explicando por que: \mathrm{e}^{x} cresce sem limite quando x\to+\infty, isto é \lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty; portanto o recíproco tende a zero:
\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0.
Isto também se vê porque \mathrm{e}^{-x}>0 e é monotonicamente decrescente para x grande, aproximando-se de 0.
Fato 2: o termo \cos(3x) é uma função periódica e os seus valores oscilam entre -1 e 1. Assim 2\cos(3x) oscila entre -2 e 2. Essa oscilação por si só impede concluir diretamente a existência de um limite; precisamos investigar se a adição de \mathrm{e}^{-x} (que vai para 0) “anula” a oscilação ou não.

Passo 3

Estratégia prática para mostrar que o limite não existe: mostrar que existem duas sequências x_n\to+\infty e y_n\to+\infty tais que as imagens f(x_n) e f(y_n) têm limites diferentes. Lembrete teórico útil: se \lim_{x\to+\infty}f(x) existisse, então toda subsequência f(x_n) com x_n\to+\infty teria o mesmo limite; encontrar duas subsequências com limites distintos prova que o limite não existe.

Passo 4

Escolha da primeira sequência que leva \cos(3x) ao máximo 1. Tome
x_n=\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{N}.
Então x_n\to+\infty quando n\to\infty e
\cos(3x_n)=\cos(3\cdot\frac{2\pi n}{3})=\cos(2\pi n)=1.
Logo, para essa sequência
f(x_n)=\mathrm{e}^{-x_n}+2\cos(3x_n)=\mathrm{e}^{-x_n}+2\cdot 1=\mathrm{e}^{-x_n}+2.
Como já sabemos que \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{-x_n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=2.

Passo 5

Escolha da segunda sequência que leva \cos(3x) ao mínimo -1. Tome
y_n=\frac{\pi+2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{N}.
Novamente y_n\to+\infty quando n\to\infty e
\cos(3y_n)=\cos(3\cdot\frac{\pi+2\pi n}{3})=\cos(\pi+2\pi n)=\cos(\pi)=-1.
Então
f(y_n)=\mathrm{e}^{-y_n}+2\cos(3y_n)=\mathrm{e}^{-y_n}+2\cdot(-1)=\mathrm{e}^{-y_n}-2.
Como \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{-y_n}=0, obtemos
\lim_{n\to\infty}f(y_n)=-2.

Passo 6

Conclusão lógica: encontramos duas subsequências x_n e y_n, ambas tendendo a +\infty, tais que
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=2\quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}f(y_n)=-2,
ou seja, duas subsequências de f(x) com limites diferentes. Pelo fato citado no Passo 3, isto impede a existência de \lim_{x\to+\infty}f(x). Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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