Em cada caso, calcule o limite da sequência \left(a_{n}\right).
a_{n}=\frac{\arctan n}{n}+n \operatorname{sen}(1 / n).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{n\to\infty}a_{n}\quad\text{com}\quad a_{n}=\frac{\arctan n}{n}+n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
O conteúdo envolve limites de funções elementares: usamos que \arctan n é limitada e o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Analisamos a primeira parcela \frac{\arctan n}{n}. Como 0<\arctan n<\tfrac{\pi}{2} para todo n, ao dividirmos por n\to\infty obtemos
0\le\frac{\arctan n}{n}\le\frac{\tfrac{\pi}{2}}{n}\;\longrightarrow\;0.

Passo 3

Analisamos a segunda parcela n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr). Definindo x=\tfrac{1}{n}, temos x\to0 quando n\to\infty. Logo
n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) =\frac{\sin x}{x} \quad\text{com }x\to0.
Pelo limite \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, concluímos
n\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\;\longrightarrow\;1.

Passo 4

Somando as parcelas, o limite da sequência é
0+1=1.

Resposta

1

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