Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
não existe;
não existe;
se
;
se
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos uma curva com as seguintes propriedades em torno de um ponto
:
-
não existe. -
não existe. - Para
, (concavidade voltada para baixo). - Para
, (concavidade voltada para cima).
O conteúdo é mudança de concavidade (ponto de inflexão) mas sem existir derivada primeira em, ou seja, temos um ponto de inflexão com “bico” ou cuspide.
Passo 2
Concavidade para baixo à esquerda de
indica que a curva vem “abaixando” seu formato; concavidade para cima à direita de
indica que ela vira para cima após
. Essa troca de concavidade caracteriza um ponto de inflexão. Como
não existe, a curva não admite uma reta tangente bem definida em
, formando um cuspide (um “bico” pontudo).
Passo 3
Descrevendo o esboço:
- Para
, o ramo da curva é liso e curvado para baixo, aproximando-se de em direção à vertical (tendendo a ter inclinação cada vez mais íngreme). - No ponto
há um vértice pontudo, sem tangente única. - Para
, o ramo é liso e curvado para cima, afastando-se de também com inclinação fortemente íngreme.
Isso forma um inflection cusp: a parte esquerda se curva para baixo, a parte direita se curva para cima, e emaparece um bico.
Passo 4
Um exemplo de função que ilustra isso (sem provar cada detalhe de existência de derivada) é, tomado
Nesse caso vê-se
- concavidade negativa para
,
- e em(isto é, ) a derivada primeira é indefinida, gerando um cuspide de inflexão.]
Resposta
O gráfico é uma curva com ponto de inflexão cuspado em
: concavidade para baixo no lado esquerdo, forma pontuda em
(sem tangente), e concavidade para cima no lado direito.