Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
f^{\prime}\text{(c)} não existe; f^{\prime \prime}\text{(c)} não existe; f^{\prime \prime}(x)<0 se x<c; f^{\prime \prime}(x)>0 se x>c

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos uma curva com as seguintes propriedades em torno de um ponto c:
  1. \displaystyle f'\text{(c)} não existe.
  2. \displaystyle f''\text{(c)} não existe.
  3. Para x<c, \displaystyle f''(x)<0 (concavidade voltada para baixo).
  4. Para x>c, \displaystyle f''(x)>0 (concavidade voltada para cima).
    O conteúdo é mudança de concavidade (ponto de inflexão) mas sem existir derivada primeira em c, ou seja, temos um ponto de inflexão com “bico” ou cuspide.

Passo 2

Concavidade para baixo à esquerda de c indica que a curva vem “abaixando” seu formato; concavidade para cima à direita de c indica que ela vira para cima após c. Essa troca de concavidade caracteriza um ponto de inflexão. Como f'\text{(c)} não existe, a curva não admite uma reta tangente bem definida em c, formando um cuspide (um “bico” pontudo).

Passo 3

Descrevendo o esboço:
  • Para x<c, o ramo da curva é liso e curvado para baixo, aproximando-se de c em direção à vertical (tendendo a ter inclinação cada vez mais íngreme).
  • No ponto x=c há um vértice pontudo, sem tangente única.
  • Para x>c, o ramo é liso e curvado para cima, afastando-se de c também com inclinação fortemente íngreme.
    Isso forma um inflection cusp: a parte esquerda se curva para baixo, a parte direita se curva para cima, e em c aparece um bico.

Passo 4

Um exemplo de função que ilustra isso (sem provar cada detalhe de existência de derivada) é, tomado h=x-c\): \[f(x)= \begin{cases} -\,( -h )^{3/2}, & h<0,\\[6pt] +\,( h )^{3/2}, & h>0. \end{cases}
Nesse caso vê-se
  • concavidade negativa para h<0\], - concavidade positiva para \(h>0,
    - e em h=0 (isto é, x=c) a derivada primeira é indefinida, gerando um cuspide de inflexão.]

Resposta

O gráfico é uma curva com ponto de inflexão cuspado em x=c: concavidade para baixo no lado esquerdo, forma pontuda em c (sem tangente), e concavidade para cima no lado direito.

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