Determine a solução geral para a seguinte equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes pelo Método dos Coeficientes a Determinar:
\ddot{x}-4 \dot{x}+4 x=t e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x}-4\dot{x}+4x = t\,e^{2t}
O que precisamos: (i) solução geral da homogênea e (ii) um particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos o polinômio característico
r^2 - 4r + 4 = 0\,,
cuja única raiz é r=2 de multiplicidade 2. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t}.

Passo 3

O termo não homogêneo é t\,e^{2t}. Como e^{2t} corresponde à raiz dupla r=2, multiplicidade m=2, e o polinômio em t é de grau 1, elegemos o ansatz
x_p(t) = t^2\bigl(A\,t + B\bigr)e^{2t}.

Passo 4

Substituindo x_p, suas derivadas e agrupando em fatores de e^{2t}, a parte esquerda torna-se
\text{LHS} = e^{2t}\bigl(6A\,t + 2B\bigr).
Para que isso seja igual a t\,e^{2t}, igualamos coeficientes:
6A = 1,\quad 2B = 0
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A = \tfrac{1}{6},\quad B = 0.

Passo 5

Portanto o particular é
x_p(t) = \tfrac{1}{6}\,t^3 e^{2t},
e a solução geral da equação original é
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t} + \tfrac{1}{6}\,t^3 e^{2t}.

Resposta

x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t} + \frac{1}{6}\,t^3 e^{2t}.

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