Em cada caso, calcule o limite da sequência \left(a_{n}\right).
a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{n^{2}}{n+3}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência \bigl(a_{n}\bigr) definida por
a_{n} = \frac{n^{2}}{n+1} \;-\;\frac{n^{2}}{n+3}.
O conteúdo é limites de sequência envolvendo quocientes de polinômios, e vamos usar simplificação algébrica e a regra do termo de maior grau.

Passo 2

Agrupamos as frações em uma única expressão. Observando que
\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3} =\frac{(n+3)-(n+1)}{(n+1)(n+3)} =\frac{2}{(n+1)(n+3)},
segue que
a_{n} = n^{2}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr) =\frac{2\,n^{2}}{(n+1)(n+3)}.

Passo 3

Para achar \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} =\frac{2\,n^{2}}{(n+1)(n+3)} =\frac{2}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\bigl(1+\tfrac{3}{n}\bigr)}.
Como \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{3}{n}\to0 quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{2}{1\cdot1} =2.

Resposta

2

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