Em cada caso, calcule o limite da sequência \left(a_{n}\right).
a_{n}=\frac{(-1)^{n} \cos (1 / n)}{\sqrt{n}}+\frac{n}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando n\to\infty, da sequência
a_{n} = \frac{(-1)^{n}\cos\bigl(1/n\bigr)}{\sqrt{n}} \;+\;\frac{n}{2^{n}}.
O conteúdo aqui é análise de limites de sequências: usamos continuidade de funções elementares, estimativas de termos alternados e o fato de que exponenciais crescem mais rápido que polinômios.

Passo 2

Estudamos primeiro o termo \cos(1/n). Como a função \cos(x) é contínua em x=0 e 1/n\to0, vale
\cos\bigl(1/n\bigr)\;\longrightarrow\;\cos(0)\;=\;1.

Passo 3

Examinamos o primeiro somando
\frac{(-1)^{n}\cos\bigl(1/n\bigr)}{\sqrt{n}}.
Em valor absoluto temos
\Bigl|\tfrac{(-1)^{n}\cos(1/n)}{\sqrt{n}}\Bigr| =\frac{\bigl|\cos(1/n)\bigr|}{\sqrt{n}} \le\frac{1}{\sqrt{n}},
e como 1/\sqrt{n}\to0, conclude-se que
\frac{(-1)^{n}\cos(1/n)}{\sqrt{n}}\;\longrightarrow\;0.

Passo 4

Agora o segundo somando:
\frac{n}{2^{n}}.
É conhecido que, para qualquer polinômio em n, a razão exponencial 2^{n} domina, ou seja,
\frac{n}{2^{n}}\;\longrightarrow\;0.

Passo 5

Como cada um dos dois termos de a_{n} tende a zero, pela soma de limites vale
a_{n}=\frac{(-1)^{n}\cos(1/n)}{\sqrt{n}}+\frac{n}{2^{n}} \;\longrightarrow\;0+0=0.

Resposta

O limite da sequência \bigl(a_{n}\bigr) é 0.

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