Julgue cada afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
Se \lim \left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0, então a sequência ( a_{n} ) é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}-a_n\bigr| = 0
implica que a sequência (a_n) converge. O conteúdo envolve noções de convergência de sequência e exemplos de contraexemplo.

Passo 2

Lembre que se (a_n) converge para algum L\in\mathbb{R}, então
a_{n+1}-a_n \to L - L = 0
e, portanto,
\bigl|a_{n+1}-a_n\bigr|\to 0.
Porém, o fato de os incrementos tenderem a zero não garante, por si só, que (a_n) seja convergente.

Passo 3

Considere o contraexemplo retirado da série harmônica:
a_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1k.
Então
a_{n+1}-a_n = \frac1{n+1},
e logo
\bigl|a_{n+1}-a_n\bigr| = \frac1{n+1}\;\longrightarrow\;0.
No entanto, é sabido que
\sum_{k=1}^{n}\frac1k \;\longrightarrow\;\infty,
ou seja, (a_n) diverge.

Passo 4

Como existe sequência divergente cujos incrementos tendem a zero, a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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