Julgue cada afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
Se \lim \left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0, então a sequência ( a_{n} ) é convergente.
Passo 1
O enunciado pergunta se a condição
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}-a_n\bigr| = 0
implica que a sequência (a_n) converge. O conteúdo envolve noções de convergência de sequência e exemplos de contraexemplo.
Passo 2
Lembre que se (a_n) converge para algum L\in\mathbb{R}, então
a_{n+1}-a_n \to L - L = 0
e, portanto,
\bigl|a_{n+1}-a_n\bigr|\to 0.
Porém, o fato de os incrementos tenderem a zero não garante, por si só, que (a_n) seja convergente.
Passo 3
Considere o contraexemplo retirado da série harmônica: