Mostre, pela definição, que: \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{13 n}{n-1}=13 Passo 1O enunciado define a sequência a_{n} = \frac{13\,n}{n-1} e pede para mostrar, usando a definição de limite de sequência, que \lim_{n\to\infty} a_{n} = 13. Vamos usar a definição: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, valha \bigl|a_{n}-13\bigr|<\varepsilon. Passo 2Calculemos a diferença em módulo: \biggl|\frac{13\,n}{n-1}-13\biggr| =\biggl|13\Bigl(\frac{n}{n-1}-1\Bigr)\biggr| =13\biggl|\frac{n-(n-1)}{n-1}\biggr| =13\cdot\frac{1}{n-1} =\frac{13}{n-1}. Passo 3Queremos \frac{13}{n-1}<\varepsilon. Isto equivale a n-1>\frac{13}{\varepsilon}, ou seja n>\frac{13}{\varepsilon}+1. Basta, então, escolher N=\left\lceil \frac{13}{\varepsilon}+1\right\rceil. Para qualquer n\ge N temos n-1\ge N-1\ge \tfrac{13}{\varepsilon}, logo \bigl|a_{n}-13\bigr| =\frac{13}{n-1} \le\frac{13}{N-1} \le\varepsilon. Passo 4Concluímos que, dado \varepsilon>0, encontramos N tal que para todo n\ge N vale \lvert a_{n}-13\rvert<\varepsilon. Portanto, pela definição de limite de sequência, Resposta \lim_{n\to\infty}\frac{13\,n}{n-1}=13. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosJulgue cada afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta. Se \lim \left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0, então a sequência ( a_{n} ) é convergente. Em cada caso, calcule o limite da sequência \left(a_{n}\right). a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{n^{2}}{n+3}. Mostre, pela definição, que: \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{2}+17 n}{n^{2}+2}=1 Use o critério da razão para mostrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{3^{n} n!}=0.