Mostre, pela definição, que:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{13 n}{n-1}=13

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{13\,n}{n-1}
e pede para mostrar, usando a definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 13.
Vamos usar a definição: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, valha
\bigl|a_{n}-13\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
\biggl|\frac{13\,n}{n-1}-13\biggr| =\biggl|13\Bigl(\frac{n}{n-1}-1\Bigr)\biggr| =13\biggl|\frac{n-(n-1)}{n-1}\biggr| =13\cdot\frac{1}{n-1} =\frac{13}{n-1}.

Passo 3

Queremos
\frac{13}{n-1}<\varepsilon.
Isto equivale a
n-1>\frac{13}{\varepsilon},
ou seja
n>\frac{13}{\varepsilon}+1.
Basta, então, escolher
N=\left\lceil \frac{13}{\varepsilon}+1\right\rceil.
Para qualquer n\ge N temos n-1\ge N-1\ge \tfrac{13}{\varepsilon}, logo
\bigl|a_{n}-13\bigr| =\frac{13}{n-1} \le\frac{13}{N-1} \le\varepsilon.

Passo 4

Concluímos que, dado \varepsilon>0, encontramos N tal que para todo n\ge N vale \lvert a_{n}-13\rvert<\varepsilon. Portanto, pela definição de limite de sequência,

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{13\,n}{n-1}=13.

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