Em cada caso, calcule:
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Vetores fornecidos:
-
. -
.
-
- O enunciado pede que se calcule, em cada caso:
-
. -
. - o valor relacionado a
e indicado por — vou interpretar isso como "o ângulo entre e ". Portanto vamos calcular o cosseno do ângulo (e, se for desejado, a própria expressão do ângulo).
-
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usaremos (explicadinhos):
-
Produto escalar (ou produto interno) em
: para dois vetores e , Isso significa: multiplica componente por componente e soma tudo. -
Norma (comprimento) de um vetor
: Ou seja, a norma é a raíz quadrada da soma dos quadrados das componentes. -
Ângulo entre dois vetores
e : se e não forem o vetor zero, o cosseno do ângulo entre eles é dado por Então. É importante checar que o valor do quociente esteja em para que esteja definido (isso normalmente ocorre se os vetores são reais).
Pequeno exemplo rápido para fixar: se
e
então
,
, logo
e
(vetores ortogonais).
Passo 3
Calcular
aplicando a fórmula do produto escalar (multiplica componente por componente e soma):
Agora simplificando cada termo:
Somando os termos escalares:
Passo 4
Calcular
do mesmo modo:
Simplificando:
Passo 5
Para obter o cosseno do ângulo entre
e
precisamos também de
. Calculamos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora as normas (já calculamos
e
, então as normas são raízes):
Passo 7
Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo
entre
e
:
Portanto o próprio ângulo é
Observação útil: como
é uma parâmetro não numérico dado, o resultado do ângulo fica expressado em função de
. Se for necessário um valor numérico, é preciso um valor numérico para
.