Em cada caso, calcule: \mu . \mu ; v_{1} v ; e \mu, v:
\mu=(1, \pi,-1, l) ; v=(0,1,0,-1);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Vetores fornecidos:
    • \mu = (1,\pi,-1,l).
    • v = (0,1,0,-1).
  • O enunciado pede que se calcule, em cada caso:
    1. \mu\cdot\mu.
    2. v\cdot v.
    3. o valor relacionado a \mu e v indicado por \,e\,\mu,v: — vou interpretar isso como "o ângulo entre \mu e v". Portanto vamos calcular o cosseno do ângulo (e, se for desejado, a própria expressão do ângulo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (explicadinhos):
  • Produto escalar (ou produto interno) em \mathbb{R}^n: para dois vetores a=(a_1,\dots,a_n) e b=(b_1,\dots,b_n),
    a\cdot b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i.
    Isso significa: multiplica componente por componente e soma tudo.
  • Norma (comprimento) de um vetor a:
    \|a\| = \sqrt{a\cdot a}.
    Ou seja, a norma é a raíz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
  • Ângulo entre dois vetores a e b: se a e b não forem o vetor zero, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
    \cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
    Então \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}\right). É importante checar que o valor do quociente esteja em [-1,1] para que \operatorname{arccos} esteja definido (isso normalmente ocorre se os vetores são reais).
Pequeno exemplo rápido para fixar: se a=(1,0) e b=(0,1) então a\cdot b=0, \|a\|=\|b\|=1, logo \cos\theta=0 e \theta=\tfrac{\pi}{2} (vetores ortogonais).

Passo 3

Calcular \mu\cdot\mu aplicando a fórmula do produto escalar (multiplica componente por componente e soma):
\mu\cdot\mu = 1\cdot1 + \pi\cdot\pi + (-1)\cdot(-1) + l\cdot l.
Agora simplificando cada termo:
\mu\cdot\mu = 1 + \pi^{2} + 1 + l^{2}.
Somando os termos escalares:
\mu\cdot\mu = 2 + \pi^{2} + l^{2}.

Passo 4

Calcular v\cdot v do mesmo modo:
v\cdot v = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot(-1).
Simplificando:
v\cdot v = 0 + 1 + 0 + 1 = 2.

Passo 5

Para obter o cosseno do ângulo entre \mu e v precisamos também de \mu\cdot v. Calculamos:
\mu\cdot v = 1\cdot0 + \pi\cdot1 + (-1)\cdot0 + l\cdot(-1).
Simplificando os termos:
\mu\cdot v = 0 + \pi + 0 - l = \pi - l.

Passo 6

Agora as normas (já calculamos \mu\cdot\mu e v\cdot v, então as normas são raízes):
\|\mu\| = \sqrt{\mu\cdot\mu} = \sqrt{2 + \pi^{2} + l^{2}}, \qquad \|v\| = \sqrt{v\cdot v} = \sqrt{2}.

Passo 7

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo \theta entre \mu e v:
\cos\theta = \frac{\mu\cdot v}{\|\mu\|\,\|v\|} = \frac{\pi - l}{\sqrt{2+\pi^{2}+l^{2}}\;\sqrt{2}}.
Portanto o próprio ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{\pi - l}{\sqrt{2+\pi^{2}+l^{2}}\;\sqrt{2}}\right).
Observação útil: como l é uma parâmetro não numérico dado, o resultado do ângulo fica expressado em função de l. Se for necessário um valor numérico, é preciso um valor numérico para l.

Resposta

\mu\cdot\mu = 2 + \pi^{2} + l^{2}
v\cdot v = 2
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\pi - l}{\sqrt{2+\pi^{2}+l^{2}}\;\sqrt{2}}\right)

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