Em cada caso, calcule a soma da série.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{n-1}}{3^{n+2}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}}.
O conteúdo aqui é série geométrica infinita. Para resolvê-la, vamos colocar o termo geral na forma C\cdot r^{n} e usar a fórmula
\sum_{n=N}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{N}}{1-r},\quad\text{para }|r|<1.

Passo 2

Começamos simplificando o termo geral. Note que
\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}} =\frac{1}{2}\,\frac{(-1)^{n}2^{n}}{3^{n+2}} =\frac{1}{2\cdot3^{2}}\;(-1)^{n}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n} =\frac{1}{18}\,\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.
Assim a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}} =\frac{1}{18}\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aqui identificamos a razão r=-\tfrac{2}{3} (que satisfaz |r|<1) e o índice inicial N=2. Aplicando
\sum_{n=2}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{2}}{1-r},
obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)^{n} =\frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}}{1-(-\tfrac{2}{3})} =\frac{\tfrac{4}{9}}{1+\tfrac{2}{3}} =\frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{5}{3}} =\frac{4}{15}.

Passo 4

Voltando ao fator \tfrac{1}{18}, a soma completa é
\frac{1}{18}\;\frac{4}{15} =\frac{4}{270} =\frac{2}{135}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{135}

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