Julgue cada afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
Se a_{n}>0, \forall n, e \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n} \sqrt{n}\right) está entre 1 / 2 e 1 , então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado fala de uma sequência positiva (a_{n}) tal que \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_{n}\sqrt{n}\bigr) existe e fica entre \tfrac12 e 1.
O conteúdo é teste de comparação (mais precisamente o teste da comparação limite) para séries de termos positivos.

Passo 2

Para usar o teste da comparação limite, escolhemos a série-p
b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}},
pois sabemos que \sum b_{n} é divergente (é uma série-p com p=\tfrac12\le1).

Passo 3

Calculamos o limite da razão entre a_{n} e b_{n}:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}\sqrt{n}\bigr)
e esse limite, por hipótese, é um número L com
\tfrac12 \le L \le 1,
logo 0<L<+\infty.

Passo 4

Pelo teste da comparação limite, como \sum b_{n} diverge e \lim_{n\to\infty}(a_{n}/b_{n})=L\in(0,\infty),
concluímos que \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados