Julgue cada afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
Se uma sequência convergente possui seus termos de ordem par nulos, seu limite é zero.

Passo 1

O enunciado afirma que (a_n) é uma sequência convergente e que todos os termos de índice par são nulos, ou seja,
a_{2n} = 0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Queremos verificar se, necessariamente, \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Como (a_n) é convergente, existe
L = \lim_{n\to\infty}a_n.
Pelo teorema, toda subsequência de uma sequência convergente também converge para o mesmo limite L.

Passo 3

Em particular, a subsequência formada pelos termos de índice par é (a_{2n}). Mas como a_{2n}=0 para todo n, essa subsequência é constante e converge a
\lim_{n\to\infty}a_{2n} = 0.

Passo 4

Pela propriedade de subsequências, temos obrigatoriamente
\lim_{n\to\infty}a_{2n} = \lim_{n\to\infty}a_n = L.
Como \lim_{n\to\infty}a_{2n}=0, segue que L=0.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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