Em cada caso, calcule a soma da série.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
Este é um caso clássico de série telescópica, em que boa parte dos termos se cancelam quando somamos até um certo
. Vamos usar soma parcial e depois tomar o limite.
Passo 2
Definimos a soma parcial até
como
Nosso objetivo é escrever
de modo a revelar o cancelamento de termos.
Passo 3
Separemos a soma em duas partes:
A primeira soma é
e a segunda é
Observe que os termos de
até
aparecem em ambas as somas e se cancelam.
Passo 4
Após o cancelamento, restam em
apenas os primeiros termos da primeira soma e os últimos da segunda:
Agora tomamos o limite quando
. Como
vem