Em cada caso, calcule a soma da série.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr).
Este é um caso clássico de série telescópica, em que boa parte dos termos se cancelam quando somamos até um certo N. Vamos usar soma parcial e depois tomar o limite.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N como
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr).
Nosso objetivo é escrever S_{N} de modo a revelar o cancelamento de termos.

Passo 3

Separemos a soma em duas partes:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}\;-\;\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+3}.
A primeira soma é
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{N+1},
e a segunda é
\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{N+3}.
Observe que os termos de \tfrac{1}{4} até \tfrac{1}{N+1} aparecem em ambas as somas e se cancelam.

Passo 4

Após o cancelamento, restam em S_{N} apenas os primeiros termos da primeira soma e os últimos da segunda:
S_{N} = \Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac{1}{N+2}+\tfrac{1}{N+3}\Bigr).
Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+3}=0,
vem
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr) =\frac{1}{2}+\frac{1}{3} =\frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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