Calcule a soma da série convergente \sum_{n=1}^{+\infty}\left(b_{n}-b_{n+2}\right), onde b_{n}=\frac{n}{n+1} para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(b_{n}-b_{n+2}\bigr)
onde b_{n}=\frac{n}{n+1}. O conteúdo principal aqui é série telescópica, que se resolve definindo a soma parcial e observando cancelamentos.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} \;=\;\sum_{n=1}^{N}\bigl(b_{n}-b_{n+2}\bigr).
Reescrevendo, temos
S_{N} = \bigl(b_{1}+b_{2}+\dots +b_{N}\bigr)\;-\;\bigl(b_{3}+b_{4}+\dots +b_{N+2}\bigr).

Passo 3

Na expressão anterior nota-se o cancelamento de todos os termos b_{3},b_{4},\dots,b_{N}. Logo
S_{N} = b_{1}+b_{2}\;-\;b_{N+1}-b_{N+2}.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{m\to\infty}b_{m}=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{m+1}=1, ao levar N\to\infty obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}-b_{n+2}) =\lim_{N\to\infty}S_{N} = \Bigl(b_{1}+b_{2}\Bigr) - 1 - 1.
Calculando b_{1}=\tfrac12 e b_{2}=\tfrac23, vem
\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}-b_{n+2}) =\frac12+\frac23 -2 =\frac{7}{6}-\frac{12}{6} =-\frac{5}{6}.

Resposta

-\tfrac{5}{6}

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