Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
D: x=1, x=4, y=-x e y=\sqrt{x};

Passo 1

O enunciado pede a área da região D do plano xy delimitada pelas curvas
x=1,\quad x=4,\quad y=-x,\quad y=\sqrt{x}.
As informações relevantes são:
  • As duas retas verticais x=1 e x=4 limitam a região à esquerda e à direita.
  • As curvas horizontais/oblíquas que limitam por cima e por baixo são y=\sqrt{x} e y=-x.
    A tarefa é calcular a área de D usando uma integral dupla.

Passo 2

Precisamos entender a forma da região para escolher os limites da integral. Para x entre 1 e 4:
  • \sqrt{x} é não negativa, ou seja \sqrt{x}\ge 0.
  • -x é negativa, para x\ge 1 temos -x\le -1.
    Logo, para cada x\in[1,4] a curva superior é y=\sqrt{x} e a curva inferior é y=-x.
Verificação rápida de interseções (porque é importante saber se as curvas trocam de papel dentro do intervalo): resolver \sqrt{x}=-x. Se tentarmos elevar ao quadrado obtemos x=x^2\Rightarrow x(x-1)=0, com soluções formais x=0 e x=1. Mas x=1 não satisfaz a igualdade original ( \sqrt{1}=1 não é igual a -1), então a única interseção real entre \sqrt{x} e -x é em x=0. Como nosso intervalo é 1\le x\le4, não há interseção entre essas duas curvas dentro do intervalo considerado. Portanto a descrição vertical (fixando x e variando y) é válida e simples.
Conceito usado: a área de uma região D pode ser escrita como
\text{Área}(D)=\iint_{D} 1\,dA,Á
e para uma região verticalmente simples isto se transforma em uma integral iterada
\iint_{D}1\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=y_{\text{inf}}(x)}^{y_{\text{sup}}(x)}1\,dy\right)dx.

Passo 3

Montando a integral dupla segundo a observação anterior: para x de 1 a 4 o y vai de y=-x (inferior) até y=\sqrt{x} (superior). Assim
\text{Área}(D)=\int_{1}^{4}\left(\int_{-x}^{\sqrt{x}} 1\,dy\right)dx.Á

Passo 4

Calculo da integral interna (a integral em y). Integrando 1 em y obtemos a diferença das extremidades:
\int_{-x}^{\sqrt{x}}1\,dy = \sqrt{x}-(-x)=\sqrt{x}+x.
Interpretação didática: essa quantidade é o comprimento vertical de uma “tira” fina na abscissa x; somando (integrando) todas as tiras de x=1 a x=4 obtemos a área.
Portanto a área reduz-se à integral em x:
\text{Área}(D)=\int_{1}^{4}\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Para cada termo usamos primitivação padrão:
  • Para x, uma primitiva é \dfrac{1}{2}x^{2}, pois \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr)=x.
  • Para \sqrt{x}=x^{1/2}, uma primitiva é \dfrac{2}{3}x^{3/2}, pois \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{2}{3}x^{3/2}\bigr)=x^{1/2}.
Logo
\text{Área}(D)=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4}.Á

Passo 6

Avaliação nos limites:
Para x=4:
\tfrac{1}{2}\cdot 4^{2}+\tfrac{2}{3}\cdot 4^{3/2}.
Calcule passo a passo:
4^{2}=16\quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}\cdot 16=8.
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad \tfrac{2}{3}\cdot 8=\tfrac{16}{3}.
Somando: 8+\tfrac{16}{3}=\tfrac{24}{3}+\tfrac{16}{3}=\tfrac{40}{3}.
Para x=1:
\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+\tfrac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{4}{6}=\tfrac{7}{6}.
Subtraindo os valores:
\text{Área}(D)=\tfrac{40}{3}-\tfrac{7}{6}=\tfrac{80}{6}-\tfrac{7}{6}=\tfrac{73}{6}.Á

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: \dfrac{73}{6} é o valor exato da área. Em forma decimal isso é aproximadamente 12{,}166\ldots. Tudo faz sentido qualitativamente porque a altura superior \sqrt{x} é positiva e a inferior -x é negativa, resultando em uma soma de áreas positivas ao longo do intervalo x\in[1,4].

Resposta

\dfrac{73}{6}

Exercícios relacionados