Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região
do plano
delimitada pelas curvas
As informações relevantes são:
- As duas retas verticais
e limitam a região à esquerda e à direita. - As curvas horizontais/oblíquas que limitam por cima e por baixo são
e .
A tarefa é calcular a área deusando uma integral dupla.
Passo 2
Precisamos entender a forma da região para escolher os limites da integral. Para
entre
e
:
-
é não negativa, ou seja . -
é negativa, para temos .
Logo, para cadaa curva superior é e a curva inferior é .
Verificação rápida de interseções (porque é importante saber se as curvas trocam de papel dentro do intervalo): resolver
. Se tentarmos elevar ao quadrado obtemos
, com soluções formais
e
. Mas
não satisfaz a igualdade original (
não é igual a
), então a única interseção real entre
e
é em
. Como nosso intervalo é
, não há interseção entre essas duas curvas dentro do intervalo considerado. Portanto a descrição vertical (fixando
e variando
) é válida e simples.
Conceito usado: a área de uma região
pode ser escrita como
e para uma região verticalmente simples isto se transforma em uma integral iterada
Passo 3
Montando a integral dupla segundo a observação anterior: para
de
a
o
vai de
(inferior) até
(superior). Assim
Passo 4
Calculo da integral interna (a integral em
). Integrando
em
obtemos a diferença das extremidades:
Interpretação didática: essa quantidade é o comprimento vertical de uma “tira” fina na abscissa
; somando (integrando) todas as tiras de
a
obtemos a área.
Portanto a área reduz-se à integral em
:
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Para cada termo usamos primitivação padrão:
- Para
, uma primitiva é , pois . - Para
, uma primitiva é , pois .
Logo
Passo 6
Avaliação nos limites:
Para
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Para
:
Subtraindo os valores:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
é o valor exato da área. Em forma decimal isso é aproximadamente
. Tudo faz sentido qualitativamente porque a altura superior
é positiva e a inferior
é negativa, resultando em uma soma de áreas positivas ao longo do intervalo
.