Em cada caso:
(a) A=[ccc1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5] (b) A=[ccc1 & 3 & 0 2 & 5 & -1 0 & 1 & 2]
i) Determine as matrizes F e R escalonada reduzida, linha equivalente a A, tais que F cdot A=R.
ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo determine a inversa.

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz A, que a gente encontre uma matriz de operações elementares F e a forma escalonada reduzida por linhas R tais que
F,A = R,
e em seguida decida se A é invertível. Se for, devemos usar o mesmo processo de redução (ou o fato de F=A^-1 quando R=I) para escrever explicitamente A^-1.

Passo 2

Caso (a):
A= 1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5
Aplicamos as operações:
  1. R2to R2-2R1, 2. R3to R3-R2.
    Essas operações correspondem às matrizes elementares
E2= 1 & 0 & 0 -2 &1 &0 0&0&1 , E3= 1&0&0 0&1&0 0&-1&1
Então
R=E3,E2,A = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 , F=E3,E2 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 2 & -1 & 1
Como em R aparece uma linha nula, a patente de A é 2<3. Logo A não é invertível e não existe A^-1.

Passo 3

Caso (b):
A= 1 & 3 & 0 2 & 5 & -1 0 & 1 & 2
Aplicando a sequência de operações
R2to R2-2R1, R3to R3+R2, R2to -R2, R1to R1-3R2, R1to R1+3R3, R2to R2-R3,
obtemos a forma reduzida
R=I3,
e o produto das matrizes elementares dá a matriz
F=A^-1 = -11 & 6 & 3 4 & -2 & -1 -2 & 1 & 1
Em (b) a forma escalonada reduzida é I3, ou seja, patente(A)=3. Portanto A é invertível e sua inversa é a matriz F calculada.

Resposta

(a)
R=1&0&40&1&-50&0&0,
F=1&0&0-2&1&02&-1&1,
A não é invertível.
(b)
R=I3,
F=A^-1=-11&6&34&-2&-1-2&1&1,
A é invertível com A^-1=F.

Exercícios relacionados