O espaço vetorial
se escreve como soma direta dos subespaços
e
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se
se decompõe como soma direta dos subespaços
e
Para
precisamos mostrar duas coisas:
-
. -
.
Passo 2
Vamos encontrar bases de
e de
.
Em , da equação
segue
. Tomando
obtemos
Em
logo
é base de
e
.
Em , da equação
segue
. Tomando
obtemos
Em
logo
é base de
e
.
Passo 3
Verificamos
. Seja
em
. Então existem
tais que
Das componentes vêm
Igualando as duas expressões de
dá
, ou seja
, logo
e
. Assim
, provando
.
Passo 4
Como
e
e a interseção é trivial, a dimensão da soma direta é
Isso implica
.
Resposta
Sim. De fato
e
, logo