O espaço vetorial R^2 se escreve como soma direta dos subespaços U=(x, y) in R^2 2 x+3 y=0 e W=(x, y) in R^2 ; x-y=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se R^2 se decompõe como soma direta dos subespaços
U = (x,y)inR^2 mid 2x+3y=0
e
W = (x,y)inR^2 mid x-y=0
Para Uoplus W = R^2 precisamos mostrar duas coisas:
  1. Ucap W = (0,0).
  2. U+W = R^2.

Passo 2

Vamos encontrar bases de U e de W.
Em U, da equação 2x+3y=0 segue y=-tfrac23x. Tomando x=3 obtemos
(3,-2)in U,
logo (3,-2) é base de U e dim U=1.
Em W, da equação x-y=0 segue y=x. Tomando x=1 obtemos
(1,1)in W,
logo (1,1) é base de W e dim W=1.

Passo 3

Verificamos Ucap W. Seja (x,y) em Ucap W. Então existem alpha,beta tais que
(x,y)=alpha(3,-2)=beta(1,1)
Das componentes vêm
3alpha = beta e -2alpha = beta
Igualando as duas expressões de beta 3alpha = -2alpha, ou seja 5alpha=0, logo alpha=0 e beta=0. Assim (x,y)=(0,0), provando Ucap W=(0,0).

Passo 4

Como dim U=1 e dim W=1 e a interseção é trivial, a dimensão da soma direta é
dim(U+W)=dim U + dim W = 2 = dimR^2
Isso implica U+W=R^2.

Resposta

Sim. De fato Ucap W=(0,0) e U+W=R^2, logo
R^2 = U oplus W

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