Questão 34: Considere as matrizes:
A=[ll-1 & 2 -4 & 1]
D=[lll2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0]
B=[ccc-2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4]
F=[cccc1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1]
Calcule os determinantes:
a) Por uma das linhas.
c) Por triangulação.
b) Por uma das colunas.
Calcule, se possível, suas inversas.

Passo 1

O enunciado entrega quatro matrizes quadradas
A=-1 & 2 [6pt] -4 & 1, D=2 & -2 & 4[3pt]0 & -1 & 3[3pt]4 & -2 & 0, B=-2 & 0 & -5[3pt]3 & -3 & -1[3pt]0 & 3 & -4, F= 1 & -2 & 3 & 1[3pt] 5 & -9 & 6 & 3[3pt] -1 & 2 & -6 & -2[3pt] 2 & 8 & 6 & 1
e pede:
1. Calcular cada determinante (usando em cada caso uma linha, uma coluna ou triangulação).
2. Calcular, se possível, a matriz inversa.
Conteúdo: cálculo de determinantes por expansão e por gauss/triangulação, e cálculo de inversa via adjunta (ou Gauss– Jordan).]

Passo 2

Determinante de A por expansão em qualquer linha ( 2times 2) e inversa de A.
det(A)=(-1)cdot1 - 2cdot(-4) = -1 +8 = 7
Como det(A)neq0,
A^-1=1det(A) ;1 & -2[3pt] ;4 & -1 =171 & -2[3pt]4 & -1 ]

Passo 3

Determinante de D por triangulação (eliminação de Gauss sem trocar linhas).
D=2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0 ;xrightarrowsubstackR3>=ts R3-2R1 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 2 & -8 ;xrightarrowsubstackR3>=ts R3-2R2 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 0 & -14
Então
det(D)=2cdot(-1)cdot(-14)=28
Como det(D)neq0, montamos a adjunta (matriz de cofatores transposta) e dividimos por 28. Calculando os cofatores, achamos
adj(D) = ;6 & -8 & -2[3pt] 12 & -16 & -6[3pt] 4 & -4 & -2 ,
logo
D^-1=128 6 & -8 & -2[3pt] 12 & -16 & -6[3pt] 4 & -4 & -2 ]

Passo 4

Determinante de B por expansão ao longo da coluna 1 e inversa de B.
Expansão em b11=-2, b21=3, b31=0:
det(B) =(-2)det!-3 & -1[3pt]3 & -4 -3det!0 & -5[3pt]3 & -4 = (-2)(12+3);-;3(0cdot(-4)-(-5)cdot3)
=(-2)cdot15 ;-;3cdot15 =-30 -45 = -75
Como det(B)neq0, calcula-se a adjunta de B e divide-se por -75. Encontramos
adj(B) = 15 & -15 & -15[3pt] 12 & ;8 & -17[3pt] ;9 & ;6 & ;6 ,
portanto
B^-1=-175 15 & -15 & -15[3pt] 12 & 8 & -17[3pt] 9 & 6 & 6 ]

Passo 5

Determinante de F por triangulação (eliminação de linhas sem troca):
F;xrightarrowR2>=ts R2-5R1,;R3>=ts R3+R1,;R4>=ts R4-2R1 1 & -2 & 3 & 1[3pt] 0 & 1 & -9 & -2[3pt] 0 & 0 & -3 & -1[3pt] 0 & 12 & 0 & -1 ;xrightarrowR4>=ts R4-12R2 1 & -2 & 3 & 1[3pt] 0 & 1 & -9 & -2[3pt] 0 & 0 & -3 & -1[3pt] 0 & 0 & 108 & 23
;xrightarrowR4>=ts R4+36,R3 1 & -2 & 3 & 1[3pt] 0 & 1 & -9 & -2[3pt] 0 & 0 & -3 & -1[3pt] 0 & 0 & 0 & -13
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det(F)=1cdot1cdot(-3)cdot(-13)=39
Como det(F)neq0, F é invertível. A inversa pode ser escrita como
F^-1=139,adj(F),
once adj(F) é a transposta da matriz de cofatores de F.
]

Resposta

det(A)=7, A^-1=171 & -2[3pt]4 & -1;
det(D)=28, D^-1=1286 & -8 & -2[3pt]12 & -16 & -6[3pt]4 & -4 & -2;
det(B)=-75, B^-1=-17515 & -15 & -15[3pt]12 & 8 & -17[3pt]9 & 6 & 6;
det(F)=39, F^-1=139,adj(F) ]

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