Em cada caso considere o espaço vetorial V, a base beta de V e w in V e determine [w]beta.
V=R^3, beta=[c3 2 -1],[c5 -1 3],[l1 0 1] e w=[c1 2 -2]

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3, a base
beta = l32-1,;5-13,;101r
e o vetor
w=12-2
Queremos encontrar as coordenadas [w]beta=(a,b,c)^T tais que
a32-1 +b5-13 +c101 = 12-2
O conteúdo é representação de vetores em uma base e vamos resolver um sistema linear para a,b,c.

Passo 2

Escrevendo as componentes, obtemos o sistema
3a + 5b + c = 1, 2a - b + 0c = 2, -,a + 3b + c = -2

Passo 3

Da segunda equação vem
2a - b = 2 Longrightarrow b = 2a - 2
Substituindo em cada expressão de c:
— Pela primeira equação:
c = 1 - 3a - 5b = 1 - 3a - 5(2a - 2) = 11 - 13a
— Pela terceira equação:
-,a + 3b + c = -2 Longrightarrow c = -2 + a - 3b = -2 + a - 3(2a - 2) = 4 - 5a
Igualando as duas expressões de c:
11 - 13a = 4 - 5a Longrightarrow -13a + 11 = -5a + 4 Longrightarrow -8a = -7 Longrightarrow a = tfrac78

Passo 4

Com a = tfrac78 temos
b = 2a - 2 = 2cdottfrac78 -2 = tfrac74 - tfrac84 = -tfrac14,
c = 11 - 13a = 11 - 13cdottfrac78 = tfrac888 - tfrac918 = -tfrac38

Resposta

[w]beta = tfrac78 [6pt] -tfrac14 [6pt] -tfrac38 ]

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