Considere o conjunto E=(x, y) ; x cdot y >= 0 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
(a, b)+(c, d)=(a c, b d) alpha(a, b)=(alpha b, alpha a)
Verifique que E não é um espaço vetorial, indicando pelo menos uma propriedade de espaço vetorial que falha.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E = (x,y)mid xcdot y>=0
com as operações
(a,b)+(c,d)=(a,c,;b,d), alpha,(a,b)=(alpha,b,;alpha,a)
Para ser espaço vetorial sobre R, E teria de satisfazer, entre outras, a propriedade
alpha,(u+v)=alpha,u+alpha,v
Vamos mostrar que essa distributividade falha.

Passo 2

Escolhemos alpha=2 e u=v=(1,1)in E. Então
u+v=(1cdot1,,1cdot1)=(1,1),
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alpha,(u+v) =(2cdot1,;2cdot1) =(2,2)
Por outro lado,
alpha,u=(2cdot1,;2cdot1)=(2,2), alpha,v=(2,2),
e daí
alpha,u+alpha,v =(2cdot2,;2cdot2) =(4,4)
Como (2,2)neq(4,4), temos
2,(u+v)neq2,u+2,v,
ou seja, a distributividade do escalar em relação à soma falha.

Resposta

A propriedade alpha,(u+v)=alpha,u+alpha,v não vale em E, logo E não é um espaço vetorial.

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