Considere os subespaços
e
do espaço X vetorial
. Considerando
com as operações usuais, verifique se vale a soma
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
,
onde
onde
Para isso precisamos checar duas coisas:
-
. -
.
Passo 2
Mostramos que
isto é, o sistema
Temos (2a+4b=0] (multiplicando a primeira equação por 2) e subtraindo a segunda:
Logo só a combinação trivial zera os vetores, provando independência.
Logo só a combinação trivial zera os vetores, provando independência.
Passo 3
Como são dois vetores independentes em
R^2 , formam uma base de
R^2 . Portanto
e segue que
Passo 4
Em geral, para subespaços de dimensão 1 em
R^2 , se a soma tem dimensão 2 então a interseção é trivial. Assim
Isso mostra que a soma é direta.
Resposta
Sim.
R^2 = F1 oplus F2 .