Considere os subespaços F1=span(1,2) e F2=span(2,1) do espaço X vetorial R^2. Considerando R^2 com as operações usuais, verifique se vale a soma direta R^2=F1 oplus F2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
,
onde
Para isso precisamos checar duas coisas:
  1. .
  2. .

Passo 2

Mostramos que
isto é, o sistema
Temos (2a+4b=0] (multiplicando a primeira equação por 2) e subtraindo a segunda:

Logo só a combinação trivial zera os vetores, provando independência.

Passo 3

Como são dois vetores independentes em R^2, formam uma base de R^2. Portanto
dim(F1+F2) = 2
e segue que
F1 + F2 = R^2

Passo 4

Em geral, para subespaços de dimensão 1 em R^2, se a soma tem dimensão 2 então a interseção é trivial. Assim
F1 cap F2 = 0
Isso mostra que a soma é direta.

Resposta

Sim. R^2 = F1 oplus F2.

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