Considere os subespaços de R^4:
W1=[lx y z w] in R^4 / x+y=z e y+w=0 e
W2=[lx y z w] in R^4 / x=w e y=z
W=W1 oplus W2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos em R^4 os subespaços
W1 = l(x,y,z,w)^top mid x+y = z,;y+w=0r
e
W2 = l(x,y,z,w)^top mid x = w,;y = zr
Queremos saber se
W1 oplus W2 = R^4
Para isso, vamos (i) achar bases e dimensões, (ii) verificar interseção trivial e (iii) checar se a soma tem dimensão 4.

Passo 2

Parametrizando . Das equações e segue
Logo todo vetor em pode ser escrito como
Portanto
é uma base de e

Passo 3

Parametrizando . Das equações e segue
Logo
é uma base de e

Passo 4

Verificando W1cap W2. Seja
v = (x,y,z,w)^top in W1cap W2
Como vin W1 temos v=(s,t,s+t,-t). Como vin W2 temos v=(alpha,beta,beta,alpha). Igualando coordenadas:
s=alpha, t=beta, s+t=beta, -t=alpha
De s+t=beta=t vem s=0. De -t=alpha=s=0 vem t=0. Logo alpha=beta=0 e v=0. Assim
W1cap W2 = 0

Passo 5

Concluindo sobre a soma direta. Temos
dim W1 + dim W2 = 2 + 2 = 4 = dimR^4
e W1cap W2=0. Portanto a soma de W1 e W2 é direta e gera R^4:
W1 oplus W2 = R^4

Resposta

Sim. W1oplus W2=R^4.

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