Considere os subespaços de
:
W2=[lx y z w] in R^4 / x=w e y=z
W=W1 oplus W2 ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos em
R^4 os subespaços
e
Queremos saber se
Para isso, vamos (i) achar bases e dimensões, (ii) verificar interseção trivial e (iii) checar se a soma tem dimensão 4.
Passo 2
Parametrizando
. Das equações
e
segue
Logo todo vetor em
pode ser escrito como
Portanto
é uma base de
e
Passo 3
Parametrizando
. Das equações
e
segue
Logo
é uma base de
e
Passo 4
Verificando
W1cap W2 . Seja
Como
vin W1 temos
v=(s,t,s+t,-t) . Como
vin W2 temos
v=(alpha,beta,beta,alpha) . Igualando coordenadas:
De
s+t=beta=t vem
s=0 . De
-t=alpha=s=0 vem
t=0 . Logo
alpha=beta=0 e
v=0 . Assim
Passo 5
Concluindo sobre a soma direta. Temos
e
W1cap W2=0 . Portanto a soma de
W1 e
W2 é direta e gera
R^4 :
Resposta
Sim.
W1oplus W2=R^4 .