Em cada caso construa a forma bilinear g: R^n times R^n R, representada na base canônica de R^n pela matriz dada. Calcule os postos em cada caso.
[ccc1 & 2 & -1 -3 & 1 & -4 2 & 5 & -3]

Passo 1

O enunciado pede para construir a forma bilinear g:R^3timesR^3toR cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 2 & -1 -3 & 1 & -4 2 & 5 & -3
Vamos usar a definição
g(x,y)=x^T,A,y
e depois calcular o posto de A, que é o mesmo posto da forma bilinear.

Passo 2

Sejam x=(x1,x2,x3) e y=(y1,y2,y3). Então
g(x,y)=x^T A y =sumi,j=1^3 Aij,xi,yj
Em forma explícita:
g(x,y) =1,x1y1 + 2,x1y2 - 1,x1y3 -3,x2y1 + 1,x2y2 - 4,x2y3 +2,x3y1 + 5,x3y2 - 3,x3y3

Passo 3

Para determinar o posto, calculamos o determinante de A:
det(A) =11 & -4 5 & -3 -2-3 & -4 2 & -3 -1-3 & 1 2 & 5 =17 - 34 + 17 = 0
Como det(A)=0, concluímos que rank(A)<3.

Passo 4

Basta agora exibir um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas duas primeiras linhas e colunas:
1 & 2 -3 & 1 =1cdot1 - (-3)cdot2 = 7 neq 0
Portanto rank(A)=2.

Resposta

A forma bilinear é
g(x,y) =x^T A y =1,x1y1 + 2,x1y2 - x1y3 -3,x2y1 + x2y2 -4,x2y3 +2,x3y1 +5,x3y2 -3,x3y3,
e o posto de g (ou de A) é 2.

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