Determine se as seguintes aplicações sobre R^2 são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de R^2.
f((x1, x2),(y1, y2))=|llx1 & y1 x2 & y2|

Passo 1

O enunciado define

por
O que precisamos verificar é se é linear em cada argumento (bilinear) e, sendo, encontrar a matriz que representa na base canônica de .

Passo 2

Verificamos linearidade em relação ao primeiro argumento. Dados (x1,x2),(x'1,x'2),(y1,y2) e escalar c, usamos a propriedade de que o determinante é linear na primeira coluna:
fl((x1+x'1,x2+x'2),(y1,y2)r) =(x1+x'1)y2-(x2+x'2)y1 =(x1y2-x2y1)+(x'1y2-x'2y1) =fl((x1,x2),(y1,y2)r)+fl((x'1,x'2),(y1,y2)r),
fl(c,(x1,x2),(y1,y2)r) =(c x1)y2-(c x2)y1 =c,(x1y2-x2y1) =c,fl((x1,x2),(y1,y2)r)
Logo, f é linear no primeiro argumento.

Passo 3

De modo análogo, o determinante é linear na segunda coluna, mas com sinal trocado quando o escalar age na segunda coluna:
fl((x1,x2),(y1+y'1,y2+y'2)r) =x1(y2+y'2)-x2(y1+y'1) =(x1y2-x2y1)+(x1y'2-x2y'1)
=fl((x1,x2),(y1,y2)r)+fl((x1,x2),(y'1,y'2)r), fl((x1,x2),c,(y1,y2)r) =x1(cy2)-x2(cy1) =c,(x1y2-x2y1) =c,fl((x1,x2),(y1,y2)r)
Portanto, f também é linear no segundo argumento. Concluímos que f é bilinear.

Passo 4

Para achar a matriz A de forma que
f(x,y)=x^TA,y,
usamos a base canônica e1=(1,0), e2=(0,1) e calculamos:
f(e1,e1)=1&10&0=0, f(e1,e2)=1&00&1=1,
f(e2,e1)=0&11&0=-1, f(e2,e2)=0&01&1=0
Isso mostra que
A= f(e1,e1) & f(e1,e2)[6pt] f(e2,e1) & f(e2,e2) = 0 & 1 -1 & 0 ]

Resposta

A aplicação f é bilinear e sua matriz na base canônica é
0 & 1 -1 & 0

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