Considere a forma bilinear dada pelo produto euclideano sobre R^4: g(u, v)=u^t v, determine a matriz de g relativamente a base:
Canônica de R^4

Passo 1

O enunciado pede a matriz da forma bilinear gcolon R^4timesR^4toR dada pelo produto interno usual
g(u,v)=u^t v
em relação à base canônica e1,e2,e3,e4 de R^4. Vamos usar a definição de matriz de uma forma bilinear.

Passo 2

Seja A a matriz de g na base canônica, então seus elementos são
aij=g(ei,ej)
Aqui ei é o vetor que tem 1 na posição i e 0 nas demais.

Passo 3

Como
Ou seja, (a_{ij}=\delta_{ij}], o delta de Kronecker.

Passo 4

Portanto, a matriz A=(aij) é a matriz identidade de ordem 4:
A= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz de g na base canônica de R^4 é
I4= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

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