Em cada caso construa uma matriz com as condições dadas.
(a) Matriz 2 times 2 não triângular com autovalores lambda=2 e lambda=-3.
(b) Matriz 3 times 3 não triângular com autovalores lambda=1 ; lambda=-2 e lambda=3.
(c) Matriz que tem um autovetor igual a v=(1,1,1,1)^T.

Passo 1

O enunciado pede para construir exemplos de matrizes que atendam a certas condições de autovalores ou autovetor. O tema aqui é teoria espectral elementar: para (a) e (b) usamos a relação entre traço, determinante e polinômio característico para escolher uma matriz não triangular; em (c) basta dar um exemplo de matriz que tenha v=(1,1,1,1)^T como autovetor.

Passo 2

Queremos uma matriz 2times2 com autovalores lambda1=2 e lambda2=-3, não triangular. Sejam seus elementos
M=a & b c & d
Para que os autovalores sejam 2 e -3 precisamos de
a+d = 2 + (-3) = -1, ad - bc = 2cdot(-3) = -6
Para evitar que seja triangular exigimos bneq0 e cneq0. Escolhendo por simplicidade a=0 e d=-1 e impondo ad - bc=-6
0cdot(-1) - b,c = -6 Longrightarrow b,c = 6
Tomando b=6 e c=1 obtemos
M=0 & 6 1 & -1,
que não é triangular e tem os autovalores desejados.

Passo 3

Queremos uma matriz 3times3 com autovalores 1,-2,3, não triangular. O polinômio característico é
(lambda-1)(lambda+2)(lambda-3) = lambda^3 -2lambda^2 -5lambda +6
A matriz companheira associada a esse polinômio é
C = 0 & 0 & -6 1 & 0 & 5 0 & 1 & 2
Como tem subdiagonais não nulas, não é triangular e seus autovalores são exatamente 1,-2,3.

Passo 4

Precisamos de uma matriz 4times4 que tenha v=(1,1,1,1)^T como autovetor. O exemplo mais simples é a matriz identidade
I4,
pois
I4,v = v,
logo v é autovetor com autovalor 1.

Resposta

(a)
(b)
(c)

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