Em cada caso construa uma matriz com as condições dadas.
(a) Matriz não triângular com autovalores e .
(b) Matriz não triângular com autovalores e .
(c) Matriz que tem um autovetor igual a .
Passo 1
O enunciado pede para construir exemplos de matrizes que atendam a certas condições de autovalores ou autovetor. O tema aqui é teoria espectral elementar: para (a) e (b) usamos a relação entre traço, determinante e polinômio característico para escolher uma matriz não triangular; em (c) basta dar um exemplo de matriz que tenha como autovetor.
Passo 2
Queremos uma matriz com autovalores e , não triangular. Sejam seus elementos
Para que os autovalores sejam e precisamos de
Para evitar que seja triangular exigimos e . Escolhendo por simplicidade e e impondo dá
Tomando e obtemos
que não é triangular e tem os autovalores desejados.
Passo 3
Queremos uma matriz 3times3 com autovalores 1,-2,3, não triangular. O polinômio característico é