Encontre uma base e a dimensão do subespaço gerado por
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço gerado por
. O conteúdo envolve conceitos de espaço vetorial, independência linear e dimensão. Vamos identificar vetores redundantes em
e extrair um conjunto independente que gere o mesmo subespaço.
Passo 2
Observe que o vetor
é múltiplo do vetor
. De fato,
Isso mostra que
não traz nova direção ao subespaço, pois já está na reta gerada por
. Podemos, portanto, descartá-lo sem alterar o espaço gerado por
.
Passo 3
Sobram os vetores
e
. Para verificar que são independentes, note que não há escalar
tal que
pois da primeira coordenada seguiria
e daí a segunda daria
. Logo, esses dois vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Dois vetores independentes em
formam uma base de um subespaço de dimensão
. Assim, podemos tomar
como base do subespaço gerado por
, e sua dimensão é
.
Resposta
Uma base é
e a dimensão do subespaço gerado por
é
.