Encontre uma base e a dimensão do subespaço gerado por S=(1,2,3),(2,4,6),(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço gerado por S = (1,2,3),,(2,4,6),,(1,1,1). O conteúdo envolve conceitos de espaço vetorial, independência linear e dimensão. Vamos identificar vetores redundantes em S e extrair um conjunto independente que gere o mesmo subespaço.

Passo 2

Observe que o vetor (2,4,6) é múltiplo do vetor (1,2,3). De fato,
(2,4,6) = 2,(1,2,3)
Isso mostra que (2,4,6) não traz nova direção ao subespaço, pois já está na reta gerada por (1,2,3). Podemos, portanto, descartá-lo sem alterar o espaço gerado por S.

Passo 3

Sobram os vetores (1,2,3) e (1,1,1). Para verificar que são independentes, note que não há escalar lambda tal que
lambda,(1,2,3) = (1,1,1),
pois da primeira coordenada seguiria lambda=1 e daí a segunda daria 2neq1. Logo, esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Dois vetores independentes em R^3 formam uma base de um subespaço de dimensão 2. Assim, podemos tomar
(1,2,3),,(1,1,1)
como base do subespaço gerado por S, e sua dimensão é 2.

Resposta

Uma base é (1,2,3),,(1,1,1) e a dimensão do subespaço gerado por S é 2.

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