Determine se os vetores v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(1,1,1) em R^3 formam um conjunto linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(1,1,1) em R^3 formam um conjunto linearmente independente. O conteúdo aqui é independência linear, e vamos usar a definição que diz: os vetores são independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula com coeficientes alpha1,alpha2,alpha3:
alpha1100 + alpha2010 + alpha3111 = 000
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
alpha1 + alpha3 = 0, alpha2 + alpha3 = 0, alpha3 = 0

Passo 3

Da terceira equação segue alpha3=0. Substituindo em
alpha1 + alpha3=0 e alpha2 + alpha3=0 vemos que alpha1=0 e alpha2=0. Logo, a única solução é a trivial.

Passo 4

Pelo critério da definição, como a única combinação linear que dá zero é a trivial, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes.

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