Em cada caso determine os valores de k tais que a matriz dada tem inversa.
(a) A=[ccck & -k & 3 0 & k+1 & 1 k-8 & k & -1]
(b) B=[ccck & k & 0 k^2 & 2 & k 0 & k & k]

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que as matrizes A e B sejam invertíveis. Em álgebra linear, uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Vamos calcular det(A) e det(B) em função de k e encontrar os valores que anulam esses determinantes.

Passo 2

Para calcular det(A) fazemos desenvolvimento pela primeira linha. Temos
det(A) = k k+1 & 1 k & -1 -(-k) 0 & 1 k-8 & -1 +3 0 & k+1 k-8 & k
Agora cada menor:
k+1 & 1 k & -1 = (k+1)(-1)-1cdot k = -2k-1,
0 & 1 k-8 & -1 = 0cdot(-1)-1cdot(k-8)=8-k,
0 & k+1 k-8 & k =0cdot k-(k+1)(k-8)= -k^2+7k+8
Substituindo:
det(A)=k(-2k-1)+k(8-k)+3(-k^2+7k+8) =-2k^2-k+8k-k^2-3k^2+21k+24 =-6k^2+28k+24

Passo 3

Para achar quando det(A)=0, resolvemos
-6k^2+28k+24=0
ou seja
3k^2-14k-12=0
As raízes são
k=14pmraiz196+1446 =14pmraiz3406 =7pmraiz853
Portanto A é invertível se, e somente se,
kneq 7+raiz853 e kneq 7-raiz853

Passo 4

Para det(B) usamos também desenvolvimento pela primeira linha:
det(B) = k 2 & k k & k - k k^2 & k 0 & k
Calculando os menores:
2 & k k & k =2k-k^2, k^2 & k 0 & k =k^3
Logo
det(B) = k(2k-k^2)-kcdot k^3 =2k^2-k^3-k^4 =-k^2(k^2+k-2) =-k^2(k+2)(k-1)
Assim B é invertível se, e somente se, det(B)neq0, ou seja
kneq 0, kneq 1, kneq -2

Resposta

(a) kneq dfrac7+raiz853 e kneq dfrac7-raiz853.
(b) kneq 0, kneq 1 e kneq -2.

Exercícios relacionados