Uma empresa de tecnologia, especializada em software, está acompanhando o crescimento do número de patentes registradas ao longo dos últimos anos. O número de patentes registradas de um ano depende de dois fatores: o número de patentes do ano anterior e o número de patentes do ano retrasado. Esse comportamento pode ser modelado aproximadamente pela seguinte recorrência de segunda ordem linear:
P(t)=a cdot P(t-1)+b cdot P(t-2)
Onde P(t) é o número de patentes registradas no ano t, e a e b são as constantes que refletem a contribuição das patentes dos dois anos anteriores para o crescimento das patentes no ano atual.
(a) Descreva este processo através de um sistema dinâmico da forma X(k+1)=A X(k) para uma certa matriz de transição A.
(b) Se as patentes no ano passado e retrassado foram 50 e 70 respectivamente, faça uma predição para o número de patentes daqui a 10 anos supondo que a=1.5 e b=0.8.
(c) Como podem ser a e b para que a projeção para o número de patentes daqui a 10 anos seja exatamente igual a 100?

Passo 1

O enunciado define a sequência de patentes
P(t)=a,P(t-1)+b,P(t-2)
e pede:
– (a) representar isto como um sistema de primeira ordem X(k+1)=A,X(k).
– (b) com P(0)=70, P(1)=50, a=1,5, b=0,8 prever P(10).
– (c) achar todos os pares (a,b) que façam P(10)=100.
Vamos usar sistemas dinâmicos lineares e recorrências de ordem 2.

Passo 2

Definimos o vetor de estado
Então
Logo

Passo 3

Para (b), tomamos P(0)=70, P(1)=50. Aplicando a recorrência:
P(2)&=1,5cdot50+0,8cdot70=75+56=131, P(3)&=1,5cdot131+0,8cdot50=196,5+40=236,5, P(4)&=1,5cdot236,5+0,8cdot131=354,75+104,8=459,55, &;vdots P(10)&approx22771,24

Passo 4

Para (c), note que a solução geral rende
P(10)=50,u10(a,b)+70,u9(a,b),
onde un satisfaz
un=a,un-1+b,un-2, u0=0,;u1=1
Impondo P(10)=100 obtemos
50,u10(a,b)+70,u9(a,b)=100,
que é uma curva no plano (a,b). Por exemplo, isolando b:
b=100-50,u10(a,b)70,u9(a,b)

Resposta

(a) \n (b) \n (c) Os pares satisfazem\n \n ou equivalentemente\n .

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