Uma empresa de tecnologia, especializada em software, está acompanhando o crescimento do número de patentes registradas ao longo dos últimos anos. O número de patentes registradas de um ano depende de dois fatores: o número de patentes do ano anterior e o número de patentes do ano retrasado. Esse comportamento pode ser modelado aproximadamente pela seguinte recorrência de segunda ordem linear:
Onde
é o número de patentes registradas no ano
, e
e
são as constantes que refletem a contribuição das patentes dos dois anos anteriores para o crescimento das patentes no ano atual.
(a) Descreva este processo através de um sistema dinâmico da forma
para uma certa matriz de transição
.
(b) Se as patentes no ano passado e retrassado foram 50 e 70 respectivamente, faça uma predição para o número de patentes daqui a 10 anos supondo que
e
.
(c) Como podem ser
e
para que a projeção para o número de patentes daqui a 10 anos seja exatamente igual a 100?
(a) Descreva este processo através de um sistema dinâmico da forma
(b) Se as patentes no ano passado e retrassado foram 50 e 70 respectivamente, faça uma predição para o número de patentes daqui a 10 anos supondo que
(c) Como podem ser
Passo 1
O enunciado define a sequência de patentes
e pede:
– (a) representar isto como um sistema de primeira ordem .
– (b) com ,
,
,
prever
.
– (c) achar todos os pares que façam
.
Vamos usar sistemas dinâmicos lineares e recorrências de ordem .
– (a) representar isto como um sistema de primeira ordem
– (b) com
– (c) achar todos os pares
Vamos usar sistemas dinâmicos lineares e recorrências de ordem
Passo 2
Definimos o vetor de estado
Então
Logo
Passo 3
Para (b), tomamos
,
. Aplicando a recorrência:
Passo 4
Para (c), note que a solução geral rende
onde
satisfaz
Impondo
obtemos
que é uma curva no plano
. Por exemplo, isolando
:
Resposta
(a) \n (b)
\n (c) Os pares
satisfazem\n
\n ou equivalentemente\n
.