Em cada caso, construa a tábua para a operação * definida sobre S.
S=0,1,2,3,4,5,6,7, *=otimes, onde x otimes y= resto da divisão de x cdot y por 8 (repita para: x cdot y por 7 )

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a tábua (Cayley table) da operação
otimesncolon Stimes Sto S
definida por
xotimesn y ;=; (xcdot y)bmod n
em S=0,1,2,3,4,5,6,7, primeiro com n=8 e depois com n=7.
O conteúdo aqui é teoria de operações binárias e fechamento em conjuntos finitos: basta calcular cada produto xcdot y e reduzir módulo n.

Passo 2

Para n=8, a entrada na posição (x,y) é
xotimes8 y ;=;(xcdot y)bmod 8
Cada linha x forma a sequência
(0cdot x,;1cdot x,;2cdot x,;dots,;7cdot x)bmod 8,
por exemplo a linha x=3 é
(0,3,6,1,4,7,2,5)
Aplicando o mesmo raciocínio para x=0,1,2,dots,7, obtemos todas as entradas da tábua.

Passo 3

Para n=7, a entrada na posição (x,y) é
xotimes7 y ;=;(xcdot y)bmod 7
Como 7equiv0pmod7, a linha x=7 coincide com a linha x=0. Cada linha x é
(0cdot x,;1cdot x,;dots,;7cdot x)bmod 7
Por exemplo, a linha x=4 é
(0,4,1,5,2,6,3,0)
Repetindo para todas as x de 0 a 7, preenchemos a tábua inteira.

Resposta

As duas tábuas são:
Para otimes8:
c|cccccccc otimes8 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 4 & 6 3 & 0 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 2 & 5 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 5 & 0 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 & 6 & 3 6 & 0 & 6 & 4 & 2 & 0 & 6 & 4 & 2 7 & 0 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
Para otimes7:
c|cccccccc otimes7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 & 0 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 & 0 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 & 0 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 & 0 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

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