Construa a tábua da operação de composição para as funções definidas a seguir.
Considere o conjunto de funções S=u, v, t, w definidas sobre o conjunto X=0,1,2,3, onde u, v, t e w são definidas por
u & =(0,0),(1,1),(2,2),(3,3) v & =(0,1),(1,2),(2,3),(3,0) t & =(0,2),(1,3),(2,0),(3,1) w & =(0,3),(1,0),(2,1),(3,2)

Passo 1

O enunciado pede a tábua (ou tabela) da operação de composição para o conjunto
S=u,v,t,w
onde cada função é uma bijeção em X=0,1,2,3.
Conteúdo: composição de funções, visão de permutações do tipo “shift” em módulo 4.

Passo 2

Vamos ver cada função como um “deslocamento” em Z4:
  • u é a identidade, deslocamento 0.
  • v envia xmapsto x+1pmod4.
  • t envia xmapsto x+2pmod4.
  • w envia xmapsto x+3pmod4.
    Então, para compor fcirc g, basta somar os deslocamentos de g e depois de f, tudo em Z4.

Passo 3

Identifiquemos cada função a um elemento de Z4:
urightarrow0, vrightarrow1, trightarrow2, wrightarrow3
A composição satisfaz
ficirc fj ;=; f,i+j!!!pmod4

Passo 4

Agora preenchemos a tabela usando i+jpmod4. Por exemplo,
vcirc t = f1+2!!!pmod4=f3 = w, tcirc w = f2+3!!!pmod4=f1 = v,
e assim por diante.

Resposta

c|cccc circ & u & v & t & whline u & u & v & t & w v & v & t & w & u t & t & w & u & v w & w & u & v & t

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