Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
9. (y e^t y cos 2 x-2 e^x y sen 2 x+2 x) d x+(x e^x y cos 2 x-3) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy =0
com
M(x,y)=y,e^x ycos 2x ;-;2,e^x ysin 2x;+;2x,
N(x,y)=x,e^x ycos 2x;-;3
O conteúdo é “equação exata”: para resolver precisamos verificar se partial M/partial y=partial N/partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N, e então escrever Psi(x,y)=C.

Passo 2

Calcular o derivado de M em relação a y:
partial Mpartial y =partialpartial yl(y e^x ycos 2xr) -;2,partialpartial yl(e^x ysin 2xr) +partialpartial y(2x)
Isto dá
partial Mpartial y =e^x ycos 2x +x y,e^x ycos 2x -2,x,e^x ysin 2x

Passo 3

Calcular o derivado de N em relação a x:
partial Npartial x =partialpartial xl(x e^x ycos 2xr) -partialpartial x(3),
que resulta em
partial Npartial x =e^x ycos 2x +x y,e^x ycos 2x -2,x,e^x ysin 2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos Psi(x,y) tal que Psix=M. Observando que
partialpartial xl(e^x ycos 2xr) =y,e^x ycos 2x-2,e^x ysin 2x,
e que
partialpartial x(x^2)=2x,
vemos que uma escolha inteligente é
Psi(x,y)=e^x ycos 2x + x^2 + h(y),
pois Psix=M.

Passo 5

Para ajustar h(y), calculamos
Psiy =partialpartial yl(e^x ycos 2xr) +partialpartial y(x^2) +h'(y) =x,e^x ycos 2x + h'(y)
Queremos Psiy=N=x,e^x ycos 2x-3, logo
h'(y)=-3Rightarrow h(y)=-3y

Resposta

A solução implícita geral é
boxede^x ycos 2x + x^2 -3y = C,
com C constante.

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