Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
9.
9.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
com
O conteúdo é “equação exata”: para resolver precisamos verificar se
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
, e então escrever
.
Passo 2
Calcular o derivado de
em relação a
:
Isto dá
Passo 3
Calcular o derivado de
em relação a
:
que resulta em
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
. Observando que
e que
vemos que uma escolha inteligente é
pois
.
Passo 5
Para ajustar
, calculamos
Queremos
, logo
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante.