Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(x^3, x+y)

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon (x,y)longmapsto(u,v) = l(x^3,;x+yr)
e pede duas coisas:
  1. Descrever, para k=-2,-1,0,1,2, as retas u=k e v=k tanto no plano uv como no plano xy.
  2. Determinar a inversa T^-1.

Passo 2

Analisando as retas ,u=k:
  • No plano uv, cada reta ,u=k é a vertical u=k, sem restrição em v.
  • No plano xy, a condição u=k vira
x^3 = k Longrightarrow x = raiz[3]k,
e y fica livre.
Para os valores dados:
k=-2&colon x=-raiz[3]2,;yin R, k=-1&colon x=-1,;yin R, k=0&colon x=0,;yin R, k=1&colon x=1,;yin R, k=2&colon x=raiz[3]2,;yin R

Passo 3

Agora as retas ,v=k:
  • No plano uv, cada reta ,v=k é a horizontal v=k, sem restrição em u.
  • No plano xy, a condição v=k vira
x + y = k Longrightarrow y = k - x
Para os valores dados:
k=-2&colon y = -2 - x, k=-1&colon y = -1 - x, k=0&colon y = -,x, k=1&colon y = 1 - x, k=2&colon y = 2 - x

Passo 4

Para achar T^-1, resolvemos
u = x^3, v = x + y
Da primeira equação vem
x = raiz[3]u,
e então da segunda
y = v - x = v - raiz[3]u

Resposta

T^-1(u,v) = l(raiz[3]u,;v - raiz[3]ur)

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