Ex. 2. Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
Z=ln (raiz(x+y-1)(x-y^2))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Z(x,y)=ln!l(raiz(x+y-1),(x-y^2)r)
e pede para esboçar seu domínio e dizer se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo. O conteúdo aqui é determinar as condições de existência do logaritmo e da raiz quadrada.

Passo 2

Para existir ln(u), é preciso ter u>0. Aqui u=raiz(x+y-1)(x-y^2), que é não negativa, mas para u>0 precisamos de
(x+y-1)(x-y^2)>0
Portanto o domínio é
D=(x,y)inR^2mid (x+y-1)(x-y^2)>0

Passo 3

A desigualdade (x+y-1)(x-y^2)>0 só vale se os dois fatores forem positivos ao mesmo tempo ou negativos ao mesmo tempo. Isso gera duas regiões no plano:
Região I
x+y-1>0 e x-y^2>0,
isto é, acima da reta x+y=1 e à direita da parábola x=y^2.
Região II
x+y-1<0 e x-y^2<0,
isto é, abaixo da reta x+y=1 e à esquerda da parábola x=y^2.
No esboço, desenhe a reta de inclinação -1 que intercepta o eixo x em x=1 e a parábola voltada à direita, e pinte as duas regiões descritas acima.

Passo 4

Analisando topologicamente:
– Todas as desigualdades são estritas, logo D é um conjunto aberto.
– Como não inclui suas fronteiras, não é fechado.
– Não há limites em x nem em y, de modo que D é ilimitado.
D é a união de duas regiões desconexas (Região I e Região II), logo não é conexo.

Resposta

D=(x,y)inR^2mid(x+y-1)(x-y^2)>0, esboçado como as duas regiões descritas.
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Conexo: não.

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