Ex. 2. Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para esboçar seu domínio e dizer se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo. O conteúdo aqui é determinar as condições de existência do logaritmo e da raiz quadrada.
Passo 2
Para existir
, é preciso ter
. Aqui
, que é não negativa, mas para
precisamos de
Portanto o domínio é
Passo 3
A desigualdade
só vale se os dois fatores forem positivos ao mesmo tempo ou negativos ao mesmo tempo. Isso gera duas regiões no plano:
Região I
isto é, acima da reta
e à direita da parábola
.
Região II
isto é, abaixo da reta
e à esquerda da parábola
.
No esboço, desenhe a reta de inclinação
que intercepta o eixo
em
e a parábola voltada à direita, e pinte as duas regiões descritas acima.
Passo 4
Analisando topologicamente:
– Todas as desigualdades são estritas, logo é um conjunto aberto.
– Como não inclui suas fronteiras, não é fechado.
– Não há limites em nem em
, de modo que
é ilimitado.
– é a união de duas regiões desconexas (Região I e Região II), logo não é conexo.
– Todas as desigualdades são estritas, logo
– Como não inclui suas fronteiras, não é fechado.
– Não há limites em
–
Resposta
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Conexo: não.