Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(e^x, e^y)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
(u,v)=T(x,y)=(e^x,e^y),
cujo domínio é todo R^2 e cuja imagem fica no primeiro quadrante (u,v)mid u>0,;v>0.
Precisamos:
1. Descrever, no plano uv, as retas u=k e v=k para k=-2,-1,0,1,2.
2. Encontrar a pré-imagem dessas retas no plano xy.
3. Determinar T^-1.

Passo 2

A reta u=k no plano uv é simplesmente
(u,v)mid u=k,;vinR,
ou seja, uma reta vertical. Para achar sua pré-imagem em xy, resolvemos
e^x = k
Como e^x>0 para todo x, só existe solução se k>0, e aí
x = ln k,
com y livre. Se k<=0, a pré-imagem é o conjunto vazio.

Passo 3

A reta v=k no plano uv é
(u,v)mid v=k,;uinR,
ou seja, uma reta horizontal. Sua pré-imagem vem de
e^y = k,
que só tem solução se k>0, dando
y = ln k,
com x livre. Para k<=0, não há pré-imagem.

Passo 4

Aplicando aos valores pedidos:
  • Para k=-2,-1,0:
    bul<=t No plano uv, u=k é vertical e v=k é horizontal normalmente.
    bul<=t No plano xy, não existe pré-imagem (vazio), pois não há x ou y com e^x<=0.
  • Para k=1:
    bul<=t No plano uv:
    u=1 é reta vertical em u=1.
    v=1 é reta horizontal em v=1.
    bul<=t No plano xy:
    u=1 x=ln1=0, ou seja, reta vertical x=0.
    v=1 y=ln1=0, ou seja, reta horizontal y=0.
  • Para k=2:
    bul<=t No plano uv:
    u=2 é reta vertical em u=2.
    v=2 é reta horizontal em v=2.
    bul<=t No plano xy:
    u=2 x=ln2, reta vertical x=ln2.
    v=2 y=ln2, reta horizontal y=ln2.

Passo 5

Para inverter T basta resolver
u = e^x, v=e^y
em função de (u,v). Como u>0 e v>0, temos
x = ln u, y = ln v
Logo, a inversa é
T^-1(u,v) = (ln u,;ln v),
com domínio (u,v)mid u>0,;v>0.

Resposta

bul<=t Retas u=k no plano uv: verticais em u=k.
bul<=t Retas v=k no plano uv: horizontais em v=k.
bul<=t Pré-imagem no plano xy: existe só para k>0, dando
u=k: reta vertical x=ln k.
v=k: reta horizontal y=ln k.
Para k<=0, a pré-imagem é vazia.
bul<=t Transformação inversa:
T^-1(u,v)=(ln u,ln v), u>0,;v>0

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