Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas
. Descreva as retas
e
nos dois sistemas de coordenadas (plano
e plano
) para os valores
. Determine a transformação inversa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação
cujo domínio é todo
e cuja imagem fica no primeiro quadrante
.
Precisamos:
. Descrever, no plano
, as retas
e
para
.
. Encontrar a pré-imagem dessas retas no plano
.
. Determinar
.
Precisamos:
Passo 2
A reta
no plano
é simplesmente
ou seja, uma reta vertical. Para achar sua pré-imagem em
, resolvemos
Como
para todo
, só existe solução se
, e aí
com
livre. Se
, a pré-imagem é o conjunto vazio.
Passo 3
A reta
no plano
é
ou seja, uma reta horizontal. Sua pré-imagem vem de
que só tem solução se
, dando
com
livre. Para
, não há pré-imagem.
Passo 4
Aplicando aos valores pedidos:
- Para
:
No plano , é vertical e é horizontal normalmente.
No plano , não existe pré-imagem (vazio), pois não há ou com . - Para
:
No plano :
–é reta vertical em .
–é reta horizontal em .
No plano :
–dá , ou seja, reta vertical .
–dá , ou seja, reta horizontal . - Para
:
No plano :
–é reta vertical em .
–é reta horizontal em .
No plano :
–dá , reta vertical .
–dá , reta horizontal .
Passo 5
Para inverter
basta resolver
em função de
. Como
e
, temos
Logo, a inversa é
com domínio
.
Resposta
–
–
Para