Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(x+1,2-y^3)

Passo 1

O enunciado define a transformação
T(x,y) = l(u,vr) = l(x+1,;2 - y^3r)
e pede duas coisas:
1. Descrever, para k=-2,-1,0,1,2, as retas u=k e v=k tanto no plano uv quanto no plano xy.
2. Encontrar a inversa T^-1(u,v).
O conteúdo é mudança de coordenadas e inversão de função de duas variáveis.

Passo 2

No plano uv, a equação
u = k
é uma reta vertical. Sob a transformação inversa (isto é, voltando ao plano xy), temos
u = x + 1 = k Longrightarrow x = k - 1
Logo, para cada kin-2,-1,0,1,2 a reta u=k corresponde no plano xy à reta vertical
x = k - 1,
isto é, aos valores
k=-2:;x=-3, k=-1:;x=-2, k=0:;x=-1, k=1:;x=0, k=2:;x=1

Passo 3

No plano uv, a equação
v = k
é uma reta horizontal. Voltando ao plano xy,
v = 2 - y^3 = k Longrightarrow y^3 = 2 - k Longrightarrow y = raiz[,3,]2 - k
Assim, para cada kin-2,-1,0,1,2 a reta v=k vira no plano xy a reta horizontal
y = raiz[,3,]2 - k,
isto é, aos valores
k=-2:;y=raiz[3]4, k=-1:;y=raiz[3]3, k=0:;y=raiz[3]2, k=1:;y=1, k=2:;y=0

Passo 4

Para achar T^-1, basta resolver
u = x + 1, v = 2 - y^3
Da primeira, x = u - 1. Da segunda, y^3 = 2 - v e portanto
y = raiz[,3,]2 - v
Logo
T^-1(u,v) = l(x,yr) = l(u - 1,;raiz[,3,]2 - vr)

Resposta

A descrição das retas é:
Plano uv:
  • u=k são retas verticais em u.
  • v=k são retas horizontais em v.
Plano xy:
  • u=k to x = k - 1 para k=-2,-1,0,1,2.
  • v=k to y = raiz[3]2 - k para k=-2,-1,0,1,2.
A inversa é
T^-1(u,v) = l(u - 1,;raiz[3]2 - vr)

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