sumn=1^infty 11+2+3+cdots+n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
sumn=1^infty11+2+3+cdots+n
O conteúdo envolvido é séries numéricas e telescopia. Vamos usar a fórmula da soma dos primeiros n inteiros e depois transformar o termo geral em frações parciais para ver que a soma “telescopa”.

Passo 2

Calculamos a soma dos primeiros n inteiros usando a fórmula clássica:
1+2+3+cdots+n = n(n+1)2
Logo o termo geral da série fica
11+2+cdots+n = 1n(n+1)2 = 2n(n+1)

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em 2n(n+1). Sabemos que
2n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1)
2 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A
Comparando coeficientes obtemos
A+B = 0, A = 2 ;Longrightarrow; B = -2
Portanto
2n(n+1) = 2l(1n - 1n+1r)

Passo 4

Escrevemos a soma parcial até N:
sumn=1^N2n(n+1) = 2sumn=1^Nl(1n - 1n+1r)
Observe que é telescópica:
2l[(1 - tfrac12) + (tfrac12 - tfrac13) + (tfrac13 - tfrac14) + cdots + (tfrac1N - tfrac1N+1)r] = 2l(1 - 1N+1r)
Fazendo Ntoinfty vem
limNtoinfty2l(1 - tfrac1N+1r) = 2

Resposta

sumn=1^infty11+2+cdots+n = 2

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