3^a Questão: Seja
f(x, y)=raizx^2-y^2 regra da caduca
(a) Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de f.
(b) Determine o gradiente nabla f(x, y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,0) e na direção do vetor unitário u=1raiz2(imath+jmath).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=raizx^2-y^2
e pede duas coisas:
– (a) o mapa de contorno, ou seja, as curvas de nível de f;
– (b) o gradiente nabla f(x,y) e a derivada direcional de f em (1,0) na direção do vetor unitário u=tfrac1raiz2(imath+jmath).
Para (a) vamos identificar a região onde f está definida e escrever a equação de cada curva de nível. Para (b) usaremos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais e depois a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro notamos que f existe apenas quando o radicando é não-negativo, ou seja
x^2-y^2>=0
As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow raizx^2-y^2=c Long<=ftrightarrow x^2-y^2=c^2,
onde c>=0. Cada valor fixo de c determina a hipérbole de equação
x^2-y^2=c^2,
aberta ao longo do eixo x. No caso c=0 obtemos as retas x=pm y. Assim, o mapa de contorno consiste em várias hipérboles centradas na origem, para cada c>=0.

Passo 3

Para calcular o gradiente nabla f=(fx,fy) usamos a regra da cadeia em
f(x,y)=(x^2-y^2)^1/2.
Logo,
fx =12(x^2-y^2)^-1/2cdot2x =xraizx^2-y^2,
fy =12(x^2-y^2)^-1/2cdot(-2y) =-yraizx^2-y^2
Portanto
boxednabla f(x,y) =l(xraizx^2-y^2,,-yraizx^2-y^2r)

Passo 4

A derivada direcional de f em (1,0) na direção u é
Dhat uf(1,0) =nabla f(1,0)cdothat u
Calculamos primeiro
nabla f(1,0) =l(1raiz1-0,,-0raiz1-0r) =(1,0)
Como hat u=(1/raiz2,,1/raiz2),
Dhat uf(1,0) =(1,0)cdotl(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r) =1raiz2

Resposta

(a) As curvas de nível de f são as hipérboles
x^2-y^2=c^2, c>=0,
abertas ao longo do eixo x (para c=0 obtemos as retas x=pm y).
(b)
nabla f(x,y) =l(xraizx^2-y^2,,-yraizx^2-y^2r),
e a derivada direcional em (1,0) na direção hat u vale
Dhat uf(1,0)=1raiz2

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