Questão: Seja
regra da caduca
(a) Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de
.
(b) Determine o gradiente
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário
.
(a) Faça o mapa de contorno (curvas de níveis) de
(b) Determine o gradiente
Passo 1
O enunciado define a função
e pede duas coisas:
– (a) o mapa de contorno, ou seja, as curvas de nível de ;
– (b) o gradiente e a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
.
Para (a) vamos identificar a região onde está definida e escrever a equação de cada curva de nível. Para (b) usaremos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais e depois a fórmula da derivada direcional.
– (a) o mapa de contorno, ou seja, as curvas de nível de
– (b) o gradiente
Para (a) vamos identificar a região onde
Passo 2
Primeiro notamos que
existe apenas quando o radicando é não-negativo, ou seja
As curvas de nível são dadas por
onde
. Cada valor fixo de
determina a hipérbole de equação
aberta ao longo do eixo
. No caso
obtemos as retas
. Assim, o mapa de contorno consiste em várias hipérboles centradas na origem, para cada
.
Passo 3
Para calcular o gradiente
usamos a regra da cadeia em
.
Logo,
Logo,
Portanto
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção
é
Calculamos primeiro
Como
,
Resposta
(a) As curvas de nível de
são as hipérboles
abertas ao longo do eixo
(para
obtemos as retas
).
(b)
(b)
e a derivada direcional em
na direção
vale