Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(e^2 x, e^-3 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a mudança de coordenadas
T(x,y) = l(u,vr) = l(e^2x,,e^-3yr)
e pede ( 1) a descrição das retas u=k e v=k nos dois planos — o plano (x,y) e o plano (u,v) — para k=-2,-1,0,1,2; ( 2) a transformação inversa T^-1. Vamos usar a relação entre cada equação de nível em u,v e sua contra-imagem em x,y, e depois inverter as fórmulas exponenciais.

Passo 2

Considere primeiro as retas u=k.
No plano (u,v) cada reta u=k é simplesmente a vertical
(u,v)mid u=k,;vinR
Para ver sua imagem inversa em (x,y) resolvemos
e^2x = k
Se k>0 então
x = tfrac12ln k
e não há restrição em y, logo é a reta vertical
l(x,y)mid x=tfrac12ln k,;yinRr
Se k<=0 a equação e^2x=k não tem solução real, então a pré-imagem é o conjunto vazio.

Passo 3

Agora as retas v=k.
No plano (u,v) cada reta v=k é a horizontal
(u,v)mid v=k,;uinR
Para a contra-imagem em (x,y) resolvemos
e^-3y = k
Se k>0 então
y = -tfrac13ln k
e x fica livre, ou seja, a reta horizontal
l(x,y)mid y = -tfrac13ln k,;xinR
Se k<=0 não há solução em y, e a pré-imagem é vazia.

Passo 4

Para achar T^-1 basta inverter
u = e^2x, v = e^-3y
Tomando logaritmo natural em cada uma, obtemos
x = tfrac12ln u, y = -tfrac13ln v
Isso vale sempre que u>0 e v>0.

Resposta

(a) No plano (u,v) as retas u=k são verticais, e as retas v=k são horizontais, para todo k.
\quad Em (x,y) a contra-imagem de u=k é, se k>0, a reta vertical x=tfrac12ln k (vazia se k<=0), e a contra-imagem de v=k é, se k>0, a reta horizontal y=-tfrac13ln k (vazia se k<=0).
(b) A inversa é
T^-1(u,v) = l(x,yr) = l(tfrac12ln u,;-tfrac13ln vr),
com domínio u>0, v>0.

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