Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas
. Descreva as retas
e
nos dois sistemas de coordenadas (plano
e plano
) para os valores
. Determine a transformação inversa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a mudança de coordenadas
e pede (
) a descrição das retas
e
nos dois planos — o plano
e o plano
— para
; (
) a transformação inversa
. Vamos usar a relação entre cada equação de nível em
e sua contra-imagem em
, e depois inverter as fórmulas exponenciais.
Passo 2
Considere primeiro as retas
.
No plano cada reta
é simplesmente a vertical
No plano
Para ver sua imagem inversa em
resolvemos
Se
então
e não há restrição em
, logo é a reta vertical
Se
a equação
não tem solução real, então a pré-imagem é o conjunto vazio.
Passo 3
Agora as retas
.
No plano cada reta
é a horizontal
No plano
Para a contra-imagem em
resolvemos
Se
então
e
fica livre, ou seja, a reta horizontal
Se
não há solução em
, e a pré-imagem é vazia.
Passo 4
Para achar
basta inverter
Tomando logaritmo natural em cada uma, obtemos
Isso vale sempre que
e
.
Resposta
(a) No plano
as retas
são verticais, e as retas
são horizontais, para todo
.
\quad Em a contra-imagem de
é, se
, a reta vertical
(vazia se
), e a contra-imagem de
é, se
, a reta horizontal
(vazia se
).
\quad Em
(b) A inversa é
com domínio
.