1. y^prime-2 y=e^2 z, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - 2y = e^2z,
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo aqui é equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(z) como
mu(z) = expl(integral -2,dzr) = e^-2z

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(z):
e^-2zy' - 2e^-2zy = e^-2ze^2z = 1
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,e^-2z, ou seja,
ddzl(y,e^-2zr) = 1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a z:
y,e^-2z = integral 1,dz = z + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y(z) = l(z + Cr),e^2z

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = (0 + C),e^0 = C = 2
Logo a solução particular é
y(z) = (z+2),e^2z

Resposta

y(z) = (z+2),e^2z

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