Em cada caso decida se o operador linear T: R^N R^N dado por sua matriz [T]{B}) é diagonalizável. B denota a base canônica de R^N. Em caso afirmativo encontre uma base C tal que [T]{C}) é diagonal.
cc-4 & -1 4 & 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o operador linear T: R^2 R^2 , representado pela matriz [T]B = -4 & -1 4 & 0 na base canônica B , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base C onde a matriz de T será diagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e a condição para uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de T . Para isso, resolvemos o determinante da matriz [T]B - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. A equação fica:
det( -4 - lambda & -1 4 & -lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(-4 - lambda)(-lambda) - (-1)(4) = lambda^2 + 4lambda + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 + 4lambda + 4 = 0 :
De<a = 4^2 - 4 times 1 times 4 = 16 - 16 = 0
Como o discriminante De<a = 0 , temos uma raiz dupla:
lambda = -4 pm raiz02 = -2
Então, o único autovalor é lambda = -2 , com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = -2 . Resolva (T - lambda I)v = 0 :
-4 - (-2) & -1 4 & -0 - (-2) x y = -2 & -1 4 & 2 x y = 0 0
Isso nos dá o sistema:
-2x - y = 0 4x + 2y = 0
A primeira equação implica y = -2x . A segunda equação confirma essa relação, então os autovetores são da forma v = x 1 -2 , onde x neq 0 .

Passo 5

Observamos que só temos um autovetor independente, embora o autovalor tenha multiplicidade algébrica 2. Para a matriz ser diagonalizável, o número de autovetores independentes deve ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 2. Como só temos um autovetor, a multiplicidade geométrica é 1, o que é menor que a multiplicidade algébrica.

Resposta

O operador linear T não é diagonalizável.

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