Em cada caso decida se o operador linear dado por sua matriz [T]{B}) é diagonalizável. denota a base canônica de . Em caso afirmativo encontre uma base tal que [T]{C}) é diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o operador linear , representado pela matriz na base canônica B , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base C onde a matriz de T será diagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e a condição para uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de T . Para isso, resolvemos o determinante da matriz [T]B - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. A equação fica:
Como o discriminante De<a = 0 , temos uma raiz dupla:
lambda = -4 pm raiz02 = -2
Então, o único autovalor é lambda = -2 , com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = -2 . Resolva (T - lambda I)v = 0 :
-4 - (-2) & -1 4 & -0 - (-2) x y = -2 & -1 4 & 2 x y = 0 0
Isso nos dá o sistema:
-2x - y = 0 4x + 2y = 0
A primeira equação implica y = -2x . A segunda equação confirma essa relação, então os autovetores são da forma v = x 1 -2 , onde x neq 0 .
Passo 5
Observamos que só temos um autovetor independente, embora o autovalor tenha multiplicidade algébrica 2. Para a matriz ser diagonalizável, o número de autovetores independentes deve ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 2. Como só temos um autovetor, a multiplicidade geométrica é 1, o que é menor que a multiplicidade algébrica.