Em cada caso decida se o operador linear dado por sua matriz [T]{B}) é diagonalizável. denota a base canônica de . Em caso afirmativo encontre uma base tal que [T]{C}) é diagonal.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve determinar se um operador linear T: R^3 R^3 , representado pela matriz [T]B na base canônica, é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base C tal que [T]C seja uma matriz diagonal. A matriz dada é:
[T]B = 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3
Para resolver isso, vamos seguir passos que envolvem encontrar os autovalores e autovetores da matriz, verificando a possibilidade de diagonalização.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz [T]B. Os autovalores são soluções da equação característica, que é dada por:
det([T]B - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para determinar os autovalores. Vamos tentar possíveis fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que os possíveis autovalores são divisores de 4 divididos por divisores de 1, ou seja, lambda = pm1, pm2, pm4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 5 + 8 - 4 = 0 (Verdadeiro)
Então, lambda = 1 é um autovalor. Agora, podemos fatorar (lambda - 1) da equação cúbica:
Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades dos autovalores deve ser igual à dimensão do espaço (nesse caso, 3), e a dimensão do espaço gerado por cada autovetor (chamada de multiplicidade geométrica) deve ser igual à multiplicidade algébrica de cada autovalor.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica para cada autovalor.
Para lambda = 1 :
Resolvemos ([T]B - I)v = 0 :
1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 2 & -2 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando as equações, obtemos que há uma única equação independente, portanto, a multiplicidade geométrica de lambda = 1 é 2.
Para lambda = 2 :
Resolvemos ([T]B - 2I)v = 0 :
0 & 2 & -1 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos que existe apenas um autovetor não trivial, então a multiplicidade geométrica de lambda = 2 é 1.
Passo 5
Como a soma das multiplicidades geométricas é 2 + 1 = 3 , que é igual à dimensão do espaço, a matriz [T]B é diagonalizável.
Agora, precisamos encontrar uma base C formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor.
Autovetor para lambda = 1 :
Resolvendo ([T]B - I)v = 0 :
Obtivemos que v2 é livre. Podemos definir v3 = t , então:
v1 = 11 (v3 - 2v2)
Escolhendo v2 = 1 e v3 = 0 :
v1 = -2
v = -2 1 0
Escolhendo v2 = 0 e v3 = 1 :
v1 = 1
v = 1 0 1
Autovetor para lambda = 2 :
Resolvendo ([T]B - 2I)v = 0 :
Obtemos:
2v2 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 2v2
v1 - 2v2 + v3 = 0 Rightarrow v1 = 0
Escolhendo v2 = 1 :
v = 0 1 2
Portanto, a base C é formada pelos autovetores encontrados:
C = -2 1 0 , 1 0 1 , 0 1 2
Resposta
A matriz [T]B é diagonalizável e a base C que a diagonaliza é: