Em cada caso decida se o operador linear T: R^N R^N dado por sua matriz [T]{B}) é diagonalizável. B denota a base canônica de R^N. Em caso afirmativo encontre uma base C tal que [T]{C}) é diagonal.
ccc2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve determinar se um operador linear T: R^3 R^3 , representado pela matriz [T]B na base canônica, é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base C tal que [T]C seja uma matriz diagonal. A matriz dada é:
[T]B = 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3
Para resolver isso, vamos seguir passos que envolvem encontrar os autovalores e autovetores da matriz, verificando a possibilidade de diagonalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz [T]B. Os autovalores são soluções da equação característica, que é dada por:
det([T]B - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Vamos calcular:
[T]B - lambda I = 2 - lambda & 2 & -1 1 & -lambda & 1 2 & -2 & 3 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det([T]B - lambda I) = (2 - lambda)[(-lambda)(3 - lambda) - (1)(-2)] - 2[(1)(3 - lambda) - (1)(2)] + (-1)[(1)(-2) - (-lambda)(2)]
Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, calculemos cada parte:
  1. (- lambda)(3 - lambda) - (1)(-2) = -3lambda + lambda^2 + 2
  2. (1)(3 - lambda) - (1)(2) = 3 - lambda - 2 = 1 - lambda
  3. (1)(-2) - (-lambda)(2) = -2 + 2lambda
Agora, substituindo de volta:
det([T]B - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) - 2(1 - lambda) + (-1)(-2 + 2lambda)
Expandindo:
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) - 2 + 2lambda + 2 - 2lambda
Simplificando:
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2)
Agora, multiplicamos:
= 2lambda^2 - 6lambda + 4 - lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4
Portanto, a equação característica é:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para determinar os autovalores. Vamos tentar possíveis fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que os possíveis autovalores são divisores de 4 divididos por divisores de 1, ou seja, lambda = pm1, pm2, pm4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 5 + 8 - 4 = 0 (Verdadeiro)
Então, lambda = 1 é um autovalor. Agora, podemos fatorar (lambda - 1) da equação cúbica:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 4)
Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - 4lambda + 4 = 0 :
lambda = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Então, temos os autovalores:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2 (com mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades dos autovalores deve ser igual à dimensão do espaço (nesse caso, 3), e a dimensão do espaço gerado por cada autovetor (chamada de multiplicidade geométrica) deve ser igual à multiplicidade algébrica de cada autovalor.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica para cada autovalor.
Para lambda = 1 :
Resolvemos ([T]B - I)v = 0 :
1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 2 & -2 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando as equações, obtemos que há uma única equação independente, portanto, a multiplicidade geométrica de lambda = 1 é 2.
Para lambda = 2 :
Resolvemos ([T]B - 2I)v = 0 :
0 & 2 & -1 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos que existe apenas um autovetor não trivial, então a multiplicidade geométrica de lambda = 2 é 1.

Passo 5

Como a soma das multiplicidades geométricas é 2 + 1 = 3 , que é igual à dimensão do espaço, a matriz [T]B é diagonalizável.
Agora, precisamos encontrar uma base C formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor.
Autovetor para lambda = 1 :
Resolvendo ([T]B - I)v = 0 :
Obtivemos que v2 é livre. Podemos definir v3 = t , então:
v1 = 11 (v3 - 2v2)
Escolhendo v2 = 1 e v3 = 0 :
v1 = -2
v = -2 1 0
Escolhendo v2 = 0 e v3 = 1 :
v1 = 1
v = 1 0 1
Autovetor para lambda = 2 :
Resolvendo ([T]B - 2I)v = 0 :
Obtemos:
2v2 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 2v2
v1 - 2v2 + v3 = 0 Rightarrow v1 = 0
Escolhendo v2 = 1 :
v = 0 1 2
Portanto, a base C é formada pelos autovetores encontrados:
C = -2 1 0 , 1 0 1 , 0 1 2

Resposta

A matriz [T]B é diagonalizável e a base C que a diagonaliza é:
C = -2 1 0 , 1 0 1 , 0 1 2

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