Questão 21. Considere a matriz M, onde M=(ccc1 & x & y 0 & 1 & z 0 & 0 & 1) ; x, y, z in R. Para cada vetor u em R^3, u in R^3, consideremos o conjunto Nu=A u ; A in M.
(a) Mostre que se u=(0,1,0), então Nu é uma reta.
(b) Mostre que se u=(0,0,1), então Nu é um plano.

Passo 1

O enunciado define o grupo
M = ,1 & x & y0 & 1 & z0 & 0 & 1;;;x,y,zinR
e, para cada vetor vec uinR^3, o conjunto
Nvec u=A,vec u : Ain M
Precisamos usar multiplicação de matrizes para obter a forma explícita de Nvec u e então reconhecer se é uma reta afim (dimensão 1) ou um plano afim (dimensão 2).

Passo 2

Tomemos vec u=(0,1,0). Seja
A=1 & x & y0 & 1 & z0 & 0 & 1in M
Então
A,(0,1,0) =1 & x & y0 & 1 & z0 & 0 & 1 010 =x10
Logo
N(0,1,0)=(x,1,0):xinR,
que é exatamente uma reta afim de direção (1,0,0) passando pelo ponto (0,1,0).

Passo 3

Agora tomemos . Com o mesmo temos
Logo
que é um plano afim paralelo ao plano e deslocado até .

Resposta

(a) Para vec u=(0,1,0),
Nvec u=(x,1,0):xinR,
que é uma reta.
(b) Para vec u=(0,0,1),
Nvec u=(y,z,1):y,zinR,
que é um plano.

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