Seja
. Prove que se
então
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz quadrada
de ordem 2 com números reais. A gente precisa provar que se o quadrado da traça de
(
) é maior que 4 vezes o determinante de
(
), então
pode ser diagonalizada. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como traça, determinante, autovalores e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa diagonalizar uma matriz. Diagonalizar
quer dizer que existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que
. Isso é possível se
tiver dois autovalores distintos.
Passo 3
Para encontrar os autovalores de
, usamos a equação característica:
Aqui,
representa os autovalores.
Passo 4
A solução dessa equação depende do discriminante
:
Se
, a equação tem duas raízes reais e distintas, ou seja, dois autovalores diferentes.
Passo 5
No nosso caso, o enunciado diz que
, o que significa que
. Portanto,
tem dois autovalores reais e distintos.
Passo 6
Como
possui dois autovalores distintos e é uma matriz 2x2, podemos concluir que ela é diagonalizável. Isso porque cada autovalor terá seu próprio vetor próprio, formando uma base de vetores próprios que diagonaliza
.
Resposta
A matriz
é diagonalizável.