Seja A in M2 times 2(R). Prove que se (tr A)^2>4 det A então A é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz quadrada A de ordem 2 com números reais. A gente precisa provar que se o quadrado da traça de A ( tr A) é maior que 4 vezes o determinante de A ( det A), então A pode ser diagonalizada. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como traça, determinante, autovalores e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa diagonalizar uma matriz. Diagonalizar A quer dizer que existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que A = PDP^-1 . Isso é possível se A tiver dois autovalores distintos.

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A , usamos a equação característica:
lambda^2 - (tr A)lambda + det A = 0
Aqui, lambda representa os autovalores.

Passo 4

A solução dessa equação depende do discriminante De<a :
De<a = (tr A)^2 - 4 det A
Se De<a > 0 , a equação tem duas raízes reais e distintas, ou seja, dois autovalores diferentes.

Passo 5

No nosso caso, o enunciado diz que (tr A)^2 > 4 det A , o que significa que De<a > 0 . Portanto, A tem dois autovalores reais e distintos.

Passo 6

Como A possui dois autovalores distintos e é uma matriz 2x2, podemos concluir que ela é diagonalizável. Isso porque cada autovalor terá seu próprio vetor próprio, formando uma base de vetores próprios que diagonaliza A .

Resposta

A matriz A é diagonalizável.

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